Enunciado

Em contraste com a situação do Exercício 36 , as experiências mostram que a reação H 2 + B r 2 → 2 H B r   satisfaz a lei de troca

d H B r d t = k H 2 B r 2 1 2

e, portanto, para essa reação a equação diferencial torna-se

d x d t = k a - x b - x 1 2

onde x = H B r     e a e b são concentrações iniciais de hidrogênio e bromo.

(a) Escreva   x como função de t no caso em que a = b . Use o fato de que   x 0 = 0   .

(b) Se a > b   , escreva t como uma função de x . (Sugestão: ao efetuar a integração, faça a substituição u = b - x   . )

Passo 1

Hey, galera! Aqui a gente tá num contexto de reações químicas, mas se vc não manja disso, não preocupa não, porque o enunciado já deu todas as informações “matemáticas” que precisamos. Olha só:

(a) Nesse item nos foi pedido pra encontrar x como função de t , e como a gente pode fazer isso? Resolvendo a equação diferencial que ele mesmo nos deu! E pra facilitar mais ainda a nossa vida, temos a = b :

d x d t = k a - x b - x 1 2

d x d t = k a - x a - x 1 2

d x d t = k a - x 3 2

Passo 2

Note que é uma equação diferencial separável, então vamos separar cada variável de um lado e integrar, beleza?

1 a - x 3 2   d x = k   d t

∫ 1 a - x 3 2   d x = ∫ k   d t + C

Agora a gente faz uma substituição na primeira integral, u = a - x ,       d u = - d x   :

∫ - 1 u 3 2   d u = ∫ k   d t + C

∫ - u - 3 2   d u = k t + C

- u - 1 2 - 1 2 = k t + C

2 u = k t + C

2 a - x = k t + C

Passo 3

Show! Agora a gente tem que encontrar o valor de C usando o fato de que x 0 = 0 , segundo o próprio enunciado:

2 a - 0 = k .   0 + C

C = 2 a

Agora a gente substitui o C e procuramos isolar o x , ok?

2 a - x = k t + 2 a

Multiplica os dois lados por a a - x   :

2 a = k t a a - x + 2 a - x

2 a = a - x   ( a k t + 2 )

a - x 2 = 2 a a k t + 2 2

a - x = 4 a a k t + 2 2

x t = a   1 - 4 a k t + 2 2

Passo 4

(b) Agora temos que resolver a mesma equação diferencial, mas com a > b :

d x d t = k a - x b - x 1 2

1 a - x b - x 1 2   d x = k   d t

∫ 1 a - x b - x 1 2   d x = ∫ k   d t + C

De cara assim, é difícil pensar num jeito de resolver a integral da esquerda, mas ainda bem que o enunciado deu uma dica pra gente! Vamos usar a substituição: u = b - x

⇒ u 2 = b - x ⇒ x = b - u 2

⇒ d x = - 2 u   d u

Bora então!

∫ - 2 u a - b - u 2   u   d u = k t + C

∫ - 2 a - b + u 2   d u = k t + C

Agora vamos fazer umas manipulações pra deixar o denominador da integral com a cara de uma integral que a gente conhece:

∫ - 2 a - b 1 1 + u 2 a - b   d u = k t + C

- 2 a - b   ∫ 1 1 + u a - b 2   d u = k t + C

Passo 5

Talvez você esteja achando muito trabalhoso até aqui, e quando deu uma olhada de relance no que ainda está por vir, bateu aquela vontade de desistir! Eu te entendo! Mas se você está com tempo, recomendo muito ir até o fim, e depois tentar refazer sozinho ou sozinha, pois esse é o tipo de exercício que aumenta o seu domínio de integrais, que te deixa mais perto de bater o olho numa integral e já saber como resolve. Então bora lá!

Repara a integral no final do passo anterior, veja como ela é similar à: ∫ 1 1 + x 2   d x = a r c t g x  

Então vamos tentar a substituição: w = u a - b   ,       d w = 1 a - b   d u :

- 2 a - b   ∫ a - b   1 1 + w 2   d w = k t + C  

- 2 a - b   a r c t g w = k t + C

- 2 a - b   a r c t g u a - b = k t + C

- 2 a - b   a r c t g b - x a - b = k t + C

Para descobrir quem é C , usamos x 0 = 0   :

- 2 a - b   a r c t g b - 0 a - b = k .   0 + C

C = - 2 a - b   a r c t g b a - b

Agora é só jogar o valor de C na equação e isolar o t (pois o enunciado pediu t em função de x ):

- 2 a - b   a r c t g b - x a - b = k t - 2 a - b   a r c t g b a - b

t ( x ) = - 2 k a - b a r c t g b - x a - b -   a r c t g b a - b

Se você chegou até aqui, parabéns!

Resposta

(a) x t = a   1 - 4   a k 2 t 2 + 4 a k t + 4

(b) t ( x ) = - 2 k a - b a r c t g b - x a - b -   a r c t g b a - b

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