Enunciado

3. Seja T :   R → R uma contração. Prove que T é contínua.

Passo 1

Poxa, vimos no exercício 1 que uma contração nada mais é do que uma função com λ uma constante entre 0 e 1 que satisfaz o seguinte

T x - T y ≤ k x - y

Onde x e y são valores quais quer.

Poxa, se a gente o que está do outro lado...

T x - T y ≤ k x - y   →

T x - T y x - y ≤ k

E aplicar o limite com x tendendo a y (por exemplo):

lim x → y ⁡ T x - T y x - y ≤ k       →

lim x → y ⁡ T x - T y x - y ≤ k       →

Essa expressão, do lado esquerdo é a expressão que basicamente defini a derivada de T no ponto y !

T ' y ≤ k    

Como y é qualquer e k um valor limitado entre 0 e 1 , a derivada também é limitada, e mais ainda: ela existe!

Só o fato de a derivada existir em um ponto y já prova que a função é contínua nesse ponto! Como y é um ponto qualquer do domínio de T , podemos falar que T é contínuo em todo o seu domínio.

Resposta

Questão de demonstração.

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