Enunciado

4. Suponha que

∑ k = 1 + ∞ f k

É uniformemente convergente em B à fução

s x = ∑ k = 1 + ∞ f k x

Seja g : B → R tal que, para todo x ∈ B , g x ≤ M , onde M > 0 é um real fixo. Prove que

∑ k = 1 + ∞ g f k

Converge uniformemente em B à função h x = s x g x .

Passo 1

Ora bolas, sabemos que g x ≤ M o que significa que a função g é limitada para todo x no domínio B .

A função s , pelo que o enunciado nos disse é uma função série convergente para todo x no mesmo do mínio B .

Vamos supor agora que a nós estamos interessados no valor de h para x 0 um x qualquer dentro de B :

h x 0 = s x 0 g x 0 =

∑ k = 1 + ∞ g x 0 f k x 0

Como g x 0 é um valor real, podemos tirá-lo da série:

h x 0 = g x 0 ∑ k = 1 + ∞ f k x 0

Ora, de fato, a série converge para s x 0 por definição, então...

h x 0 = s x 0 g x 0

Como x 0 foi um ponto qualquer escolhido, para qualquer x que pegarmos, isso vale! Ou seja, de fato a nosso função h converge!

Resposta

Questão de demonstração.

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