Enunciado

Seja g (x) = log_a x , em que a > 0 e a != 1 é constante. Mostre que g^' (x) = (1)/(x ln a) .

Passo 1

Temos que para qualquer x do domínio de g , a derivada de g em x é:

g^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (g (x + h) - g (x))/(h) = underset(h -> 0)(lim) (log_a (x + h) - log_a x)/(h)

Como log_a m - log_a n = log_a (m)/(n) , temos:

g^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (log_a (x + h) - log_a x)/(h) = underset(h -> 0)(lim) (log_a (1 + (h)/(x)))/(h)

Como n log_a m = log_a (m^n) , temos:

g^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (log_a (1 + (h)/(x)))/(h) = underset(h -> 0)(lim) log_a [(1 + (h)/(x))^((1)/(h))]

Passo 2

Vamos chamar de w = (x)/(h) , de modo que, se h tende a zero, w tende ao infinito positivo:

g^' (x) = underset(h -> 0)(lim) log_a [(1 + (h)/(x))^((1)/(h))] = underset(w -> oo)(lim) log_a [(1 + (1)/(w))^((w)/(x))] = underset(w -> oo)(lim) (1)/(x) log_a [(1 + (1)/(w))^w]

Como sabemos que underset(x -> oo)(lim) (1 + (1)/(x))^x = e , temos:

g^' (x) = underset(w -> oo)(lim) (1)/(x) log_a [(1 + (1)/(w))^w] = (1)/(x) * log_a e

Passo 3

Por propriedade da mudança de base no logaritmo, temos que log_b x = (log_k x)/(log_k b) , então, podemos reescrever log_a e como:

log_a e = (log_e e)/(log_e a) = (1)/(ln a)

Então:

g^' (x) = (1)/(x) * log_a e = (1)/(x) * (1)/(ln a)

Assim, provamos que:

g^' (x) = (1)/(x ln a)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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