Enunciado

Seja f x = 1 + 1 x x .

a) Prove a identidade:

f - x = x x - 1 . f ( x - 1 )

b) Use a Equação ( 7 ) e a identidade da parte a) para provar a Equação ( 8 ) .

Passo 1

a) Então galera, a função que nos foi dada é a seguinte:

f x = 1 + 1 x x

O que queremos achar é f - x , certo? Então vamos aplicar esse valor de x na nossa função para ver aonde chegamos, se liga:

f - x = 1 - 1 x - x

f - x = x x - 1 x

Aqui só fizemos o MMC e mudamos o sinal do expoente invertendo a fração, ok? Tudo bem, primeira parte está feita.

Passo 2

O que temos que descobrir agora é o que seria f ( x - 1 ) . Substituindo esse valor na nossa função, teremos:

f x - 1 = 1 + 1 x - 1 x - 1

f x - 1 = x x - 1 x - 1

f x - 1 = x x - 1 x x x - 1 = x - 1 x . f - x

Que é exatamente o que queríamos demonstrar!

Passo 3

b) A equação ( 7 ) na qual o enunciado está falando é a seguinte, galera:

lim x → - ∞ ⁡ 1 + 1 x x

Substituindo o que encontramos no passo anterior:

lim x → - ∞ ⁡ 1 + 1 x x = lim x → + ∞ ⁡ f - x

lim x → + ∞ ⁡ f - x = lim x → + ∞ ⁡ x x - 1 . lim x → + ∞ ⁡ f x - 1

Aplicando o limite teremos:

lim x → + ∞ ⁡ f x - 1 = e

Que é exatamente o que queríamos encontrar! Está aí nossa demonstração, galera!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x - x 2 1 - x
Para f x = 2 x - 1 ln ⁡ x encontre cada o seguinte limite: lim x → 1 - ⁡ f ( x )
Para f x = 2 x - 1 ln ⁡ x encontre cada o seguinte limite: lim x → 0 + ⁡ f ( x )
Para f x = 2 x - 1 ln ⁡ x , monte um grafico dá função, usando as seguintes informações: lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = 0 lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = + ∞ lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = + ∞ lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = - ∞
Para f x = 2 x - 1 ln ⁡ x encontre cada o seguinte limite: lim x → 1 + ⁡ f ( x )