Enunciado

17-26. Use a Definição 1.4.1 para provar que o limite dado está correto.

19. lim x → 5 ⁡ 3 x = 15

Passo 1

Então galera, o enunciado pede para que utilizemos da definição formal de limites para provar que o limite que nos foi dado está, de fato, correto. A definição formal, caso não se lembre, nos diz:

lim x → a ⁡ f x = L

Se, para qualquer número ϵ > 0 , pudermos encontrar um número δ > 0 tal que:

f x - L < ϵ   s e   0 < x - a < δ

Parece complicado toda essa notação, não é mesmo? Prometo que não é tudo isso, bora lá!

Passo 2

Antes de tudo, temos que nosso limite é o seguinte:

lim x → 5 ⁡ 3 x = 15

Utilizando a definição:

3 x - 15 < ϵ

3 x - 5 < ϵ

∴ x - 5 < ϵ 3

Mas só se:

0 < x - 5 < δ

Disso podemos tirar que δ = ϵ 3 . Como o primeiro módulo é equivalente ao segundo e esse mesmo segundo se verifica com o δ que acabamos de encontrar, então o primeiro módulo também se verifica com esse mesmo δ que acabamos de encontrar. Dessa forma, fica provado que o limite, de fato, está correto.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule. lim x → p ⁡ x n - p n x - p
Suponha f contínua em R e f x ≥ 0 para todo x racional. Prove que f x ≥ 0 para todo x .
Sejam f e g definidas em R com g x = 0 para todo x . Suponhas que lim x → p ⁡ f x g x = 0 . Prove que existe δ0 tal que 0x - pδ ⟹ f xg x
Prove: lim x → p ⁡ f x = L ⇔ lim x → p ⁡ f x - L = 0
Prove: lim x → p ⁡ f x x - p = 0 ⇔ lim x → p ⁡ f x x - p = 0 .