Enunciado

Seja f x = a x 2 + b x + c ,   a ≠ 0 .

a ) Verifique que f x = a x + b 2 a 2 - Δ 4 a onde Δ = b 2 - 4 a c .

b ) Mostre que se a > 0 , então o menor valor de f ( x ) acontece para x = - b 2 a . Qual o menor valor de f ( x ) ?

c )   Mostre que se a < 0 , então f - b 2 a = - Δ 4 a é o maior valor assumido por f .

d ) Interprete b ) e c ) graficamente.

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Vamos resolver cada letra em cada passo!

  1. Para verificar a primeira afirmação, vamos primeiro desenvolver separadamente o produto notável x + b 2 a 2 ok?
  2. Lembrando que, para qualquer produto notável u + v 2 o desenvolvimento é o seguinte:

    u + v 2 = u 2 + v 2 + 2 u v

    Neste caso, temos que

    u = x

    v = b 2 a

    Agora aplicando pro produto notável que nos interessa vamos ter:

    x + b 2 a 2 = x 2 + b 2 4 a 2 + 2 x . b 2 a = x 2 + b 2 4 a 2 + x b a

    Certo até aqui? Agora vamos substituir esse resultado no lugar do primeiro termo do lado direito da igualdade e já vou aproveitar e substituir Δ por b 2 - 4 a c . O problema forneceu,

    f x = a x + b 2 a 2 - Δ 4 a

    Fazendo a substituição,

    a x 2 + b x + c = a x 2 + b 2 4 a 2 + x b a - b 2 - 4 a c 4 a 2

    Agora vou trabalhar um pouco a expressão do lado direito: dividir em duas frações o último termo e fazer a multiplicação de todos os termos por a :

    a x 2 + b x + c = a x 2 + a b 2 4 a 2 + a x b a - a b 2 4 a 2 +   4 a 2 c 4 a 2

    Agora vamos simplificar o que é possível:

    a x 2 + b x + c = a x 2 + b x +   c

    Viram? Verificamos a igualdade! Beleza? Vamos pra próxima?

    Passo 2

  3. Para mostrar o que é pedido, vamos primeiro lembrar que se a > 0 , então temos que:
  4. a x + b 2 a 2 ≥ 0

    assume valores positivos ou igual a zero para todo x . Sendo assim, o menor valor que x pode assumir é quando toda essa expressão ali de cima é igual a zero:

    a x + b 2 a 2 = 0

    Isolando o x do lado esquerdo da equação temos:

    x + b 2 a = 0

    x = - b 2 a

    E para determinar o valor de f ( x ) nesse ponto, basta substituir na expressão f x = a x 2 + b x + c :

    f - b 2 a = a - b 2 a 2 + b . - b 2 a + c

    Agora vamos trabalhar um pouco essa expressão, saca só:

    f - b 2 a = a b 2 4 a 2 - b 2 2 a + c

    E agora vamos fazer o m.m.c:

    f - b 2 a = a b 2 - 2 a b 2 + 4 a 2 c 4 a 2 = - a b 2 + 4 a 2 c 4 a 2

    Podemos simplificar o coeficiente a :

    f - b 2 a = - b 2 + 4 a c 4 a

    E agora sabendo que Δ = b 2 - 4 a c , podemos ter a forma final:

    f - b 2 a = - Δ 4 a

    Certo? Vamos pra próxima?

    Passo 3

  5. A letra é análoga a letra b. Porém agora temos que a < 0 , então temos que:

a x + b 2 a 2 ≤ 0

assume valores negativos ou igual a zero para todo x . Sendo assim, o maior valor que x pode assumir é quando toda essa expressão ali de cima é igual a zero:

a x + b 2 a 2 = 0

Isolando o x do lado esquerdo da equação temos:

x + b 2 a = 0

x = - b 2 a

E para determinar o valor de f ( x ) nesse ponto, basta substituir:

f - b 2 a = a - b 2 a 2 + b . - b 2 a + c

Seguindo as mesmas oeprações do passo anterior teremos:

f - b 2 a = a b 2 4 a 2 - b 2 2 a + c

E agora vamos fazer o m.m.c novamente:

f - b 2 a = a b 2 - 2 a b 2 + 4 a 2 c 4 a 2 = - a b 2 + 4 a 2 c 4 a 2

Podemos simplificar o coeficiente a :

f - b 2 a = - b 2 + 4 a c 4 a

E agora sabendo que Δ = b 2 - 4 a c , podemos ter a forma final:

f - b 2 a = - Δ 4 a

Olha que legal! Tanto o maior, quanto o menor valor de f é dado no mesmo ponto, onde x = - b / 2 a e y = - Δ / 4 a .

Passo 2

Mas o que isso significa? Como já sabemos que f é uma função de segundo grau e seu gráfico é uma parábola, então o ponto - b 2 a , - Δ 4 a represneta o vértice da parábola.

Se o coeficiente a for positivo, então f assumirá um valor MÍNIMO nesse ponto e temos uma concavidade para cima.

Se o coeficiente de a for negativo, então a f assumirá um valor MÁXIMO nesse ponto e temos uma concavidade para baixo.

Vamos pra próxima questão?

Resposta

a a x 2 + b x + c = a x + b 2 a 2 - Δ 4 a

b f - b 2 a = - Δ 4 a

c f - b 2 a = - Δ 4 a

d - b 2 a , - Δ 4 a   r e p r e s e n t a   o   v é r t i c e   d a   p a r á b o l a

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Determine sef é par, ímpar ou nenhum dos dois. Se você tiver uma calculadora gráfica, use-a para verificar visualmente sua resposta. f x = x x 2 + 1
Esboce o gráfico: y = x + 1 2 - 2
Esboce o gráfico:y = x - 1 2 + 1
Esboce o gráfico: y = x - 1 2
Esboce o gráfico: f x = x 2