Enunciado

Seja   u → , v → , w → vetores qualquer de R 2 . Prove que se u →   e   v → forem lineamente independentes, então existirão( e serão únicos) reais α e β tais que w → = α u → + β v →

Passo 1

Façamos:

u → = u 1 u 2 ,   v → = v 1 v 2   e   w → = w 1 w 2

Se u →   e   v → forem lineamente independentes, então é possível escrever qualquer vetor em R 2 a partir de uma combinação linear de u →   e   v → .

a 1 u → + a 2 v → = x →

Passo 2

Se w → = α u → + β v → , então:

w 1 w 2 = α u 1 u 2 + β v 1 v 2  

Passo 3

Formando o seguinte sistema:

u 1 v 1 u 2 v 2 ⏟ A . α β ⏟ x   = w 1 w 2 ⏟ w →

Resposta

Como os vetores u →   e   v → são LI então existe uma matrix inversa A - 1 que torna o sistema como possível e determinado, cuja essência é ter uma única solução. Logo as constantes α e β são únicas.

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Sejam u → e v → vetores de R 2 . Dizemos que u → e v → são linearmente independentes se, quaisquer que sejam os reais α e β , se α u → + β v → = 0 → , então α = β = 0 . Prove que u → = u 1 , u 2 e v →
Sejam u → e v → dois vetores unitários e ortogonais do R 2 . Prove que u → e v → são linearmente independentes.
Prove que quaisquer que sejam u → e v → em R 3 u → ^ v → ≤ u → v →
Sejam u → , v → e w → três vetores unitários quaisquer de R 3 , sendo dois a dois ortogonais. Prove que para todo r → do R 3 tem-se: r → = r → ∙ u → u → + r → ∙ v → v → + r → ∙ w → w →