Enunciado

Suponha f x > 0 e contínua em[a,b]. Prove que se ∫ a b f x d x = 0 , então f x = 0 , para todo x ∈ [ a , b ]

Passo 1

Como a nossa função f ( x ) é continua no intervalo [a,b] isso significa que a é limitada, isto é, existem valores máximos(M) e mínimos(m) em nossa função no intervalo [a,b], vamos chamar esses valores de m e M :

m ≤ f x ≤ M

O enunciado diz pra gente que

f x > 0

Então nosso m é o valor mais próximo do valor mínimo que nossa função pode assumir que é 0, dessa forma:

0 < f x ≤ M

Passo 2

Agora se integrarmos ambos os lados da equação obtemos:

∫ a b 0 d x ⏟ 0 < ∫ a b f x d x ≤ ∫ a b M d x

Como temos uma integral definida e M é uma constante, podemos falar que ∫ a b M d x = M x | a b   que é mesma coisa que: M ( b - a ) , então temos que

0 < ∫ a b f x d x ≤ M b - a

Dividindo ambos os lados por ( b - a )

0 < ∫ a b f x d x b - a ≤ M

Passo 3

Essa equação entre as desigualdades nada mais é que o teorema do valor médio, isto é, existe um ponto dentro da nossa curva entre o intervalo [ a , b ] que representa uma altura e quando multiplicada pelo tamanho do nosso intervalo ( b - a ) nos fornece um retângulo com área igual a da integral computada no intervalo [ a ,   b ] .

Para explicar melhor isso, se liga nessa imagem aqui:

Agora da pra entender melhor, temos isso aqui:

f c ⏞ a l t u r a ( b - a ) ⏞ b a s e ⏟ Á r e a   d e   u m   r e t â n g u l o =   ∫ a b f x d x ⏟ Á r e a   a b a i x o   d a   c u r v a

Fazendo:

∫ a b f x d x = 0

Obtemos:

f c b - a = 0

Como ( b - a ) é um comprimento e portanto um valor positivo, c ∈ [ a , b ] e nossa f(x) só pode assumir valores maiores ou igual a zero no intervalo [a,b], isso prova que:

f c = 0

Como f(c) é zero e f(x) não possui valores negativos no intervalo [a,b], para possibilitar áreas negativas como poderia ser o caso de uma senoide. Isso implica f(x) = 0

Resposta

f x = 0 em [a,b] se ∫ a b f x d x = 0 , pois nosso valor médio é zero quando a área abaixo da curva é zero no intervalo [a,b], forçando a condição de que o único valor possível que nossa função pode assumir dentro do intervalo [a,b] é 0 pois f x ≥ 0

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