Enunciado

Sejam vec f = ( x z , z y , x y ) e vec g = (x^2 , y^2 , z^2) . Determinar:

grad xx vec f

Passo 1

A questão nos pede pra calcular grad xx vec f . Mas o que é isso? Simples, galera: é o rotacional do campo! É uma notaçãozinha diferente, mas é só isso. Então nosso trabalho nessa questão é bem simples: queremos calcular o rotacional do campo vetorial vec f dado. Bom, isso não é um desafio, já que conhecemos direitinho a expressão que dá o rotacional do campo.

Vamos considerar o campo vec f :

vec f (x , y , z) = f_1 (x , y , z) vec i + f_2 (x , y , z) vec j + f_3 (x , y , z) vec k

Que também pode estar escrito como:

vec f (x , y , z) = (f_1 , f_2 , f_3)

O rotacional desse campo vai ser:

r o t vec f = |[[vec i,vec j,vec k],[(del)/(del x),(del)/(del y),(del)/(del z)],[f_1,f_2,f_3]]| = ((del f_3)/(del y) - (del f_2)/(del z)) vec i + ((del f_1)/(del z) - (del f_3)/(del x)) vec j + ((del f_2)/(del x) - (del f_1)/(del y)) vec k

Passo 2

Bora lá! O campo dessa questão é:

vec f = ( x z , z y , x y )

Então,

f_1 = x z

f_2 = z y

f_3 = x y

Vamos lá, calculando as derivadas parciais na ordem em que aparecem na expressão!

(del f_3)/(del y) = (del (x y))/(del y) = x

(del f_2)/(del z) = (del (z y))/(del z) = y

(del f_1)/(del z) = (del ( x z ))/(del z) = x

(del f_3)/(del x) = (del ( x y ))/(del x) = y

(del f_2)/(del x) = (del ( z y ))/(del x) = 0

(del f_1)/(del y) = (del ( x z ))/(del y) = 0

Agora é só substituir!

r o t vec f = ( x - y ) vec i + (x - y) vec j + (0 - 0) vec k

Arrumando,

r o t vec f = (x - y) (vec i + vec j)

Acabamos!

Resposta

r o t vec f = (x - y) (vec i + vec j)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

10. Uma partícula de massa m move-se no plano xy sob influência da força gravitacional F → = - m gj → . Se a partícula move-se de (0,0) a (-2,1) ao longo de um caminho C, mostrar que o trabalho realiz
9. Calcular ∫ C f → ⋅ d r → , onde f → = r → r → 3 , r → = x , y , z , ao longo dos seguintes caminhos:(c) segmento de reta que une o ponto A(0,1,0) ao ponto B(1,0, 3 )
12. Determinar o trabalho realizado pela força f → = y z e x z ,e x z , x y e x z + 1 para deslocar uma partícula ao longo da curva y=2/x do ponto A(-1,-2,0) ao ponto B(-2,-1,0). Esse trabalho é maior
9. Calcular ∫ C f → ⋅ d r → , onde f → = r → r → 3 , r → = x , y , z , ao longo dos seguintes caminhos:(d) intersecção das superfícies z = x 2 + y 2 , x=2, do ponto A(2,0,2) a B(2,4,2 5 )
9. Calcular ∫ C f → ⋅ d r → , onde f → = r → r → 3 , r → = x , y , z , ao longo dos seguintes caminhos:(a) elipse x 2 4 + y 2 = 4 , z=2, uma volta completa no sentido anti-horário