Sejam f = (xz, zy, xy) e g = (x^2, y^2, z^2) . Determinar:

∇ × f → × g →

Passo 1

A questão nos pede pra calcular ∇ × f → × g → . Mas o que é isso? Simples, galera: é o rotacional do campo! É uma notaçãozinha diferente, mas é só isso. Então nosso trabalho nessa questão é bem simples: queremos calcular o rotacional do campo vetorial f → × g → , ou seja, do produto vetorial entre f → e g → . Bom, isso não é um desafio, já que conhecemos direitinho a expressão que dá o rotacional do campo. Além disso, sabemos também calcular esse produto vetorial.

Vamos considerar o campo f → :

f → x ,   y ,   z = f 1 x ,   y ,   z   i → + f 2 x ,   y ,   z   j → + f 3 x ,   y ,   z   k →

Que também pode estar escrito como:

f → x ,   y ,   z = f 1 ,   f 2 ,   f 3

E o campo g → :

g → x ,   y ,   z = g 1 ,   g 2 ,   g 3

O produto vetorial deles é:

f → × g → = i → j → k → f 1 f 2 f 3 g 1 g 2 g 3

O rotacional desse campo vai ser:

r o t   f → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z f 1 f 2 f 3 = ∂ f 3 ∂ y - ∂ f 2 ∂ z i → + ∂ f 1 ∂ z - ∂ f 3 ∂ x j → + ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ y k →

Passo 2

Bora lá! Os campos dessa questão são:

f → = ( x z ,   z y ,   x y )

g → = x 2 ,   y 2 ,   z 2

Então,

f 1 = x z  

f 2 = z y

f 3 = x y

g 1 = x 2

g 2 = y 2

g 3 = z 2

Então o produto vetorial é:

f → × g → = i → j → k → x z z y x y x 2 y 2 z 2

Desenvolvendo,

f → × g → = z 3 y - x y 3   i → - x z 3 - x 3 y   j → + x y 2 z - x 2 y z   k →

Passo 3

Agora vamos pro rotacional desse campo que obtivemos:

h → = f → × g → = z 3 y - x y 3   i → + - x z 3 + x 3 y   j → + x y 2 z - x 2 y z   k →

Vamos lá, calculando as derivadas parciais na ordem em que aparecem na expressão!

∂ h 3 ∂ y = ∂ x y 2 z - x 2 y z ∂ y = 2 x y z - x 2 z

∂ h 2 ∂ z = ∂ - x z 3 + x 3 y ∂ z = - 3 x z 2

∂ h 1 ∂ z = ∂ ( z 3 y - x y 3 ) ∂ z = 3 y z 2

∂ h 3 ∂ x = ∂ ( x y 2 z - x 2 y z ) ∂ x = y 2 z - 2 x y z

∂ h 2 ∂ x = ∂ ( - x z 3 + x 3 y ) ∂ x = - z 3 + 3 x 2 y

∂ h 1 ∂ y = ∂ ( z 3 y - x y 3 ) ∂ y = z 3 - 3 x y 2

Agora é só substituir!

∇ × f → × g → = ( 2 x y z - x 2 z + 3 x z 2 ) i → + 3 y z 2 - y 2 z + 2 x y z j → + - z 3 + 3 x 2 y - z 3 + 3 x y 2 k →

Arrumando,

∇ × f → × g → = ( 2 x y z - x 2 z + 3 x z 2 ) i → + 3 y z 2 - y 2 z + 2 x y z j → + - 2 z 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 k →

Acabamos!

Resposta

∇ × f → × g → = ( 2 x y z - x 2 z + 3 x z 2 ) i → + 3 y z 2 - y 2 z + 2 x y z j → + - 2 z 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 k →

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados