Enunciado

Quais das séries nos Exercícios 11-40 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. (Quando estiver checando uma resposta, lembre-se de que pode existir mais de uma forma para determinar a convergência ou divergência da série.)

∑ n = 1 ∞ e - n

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vamos lá para mais um exercício?! Relembrando que uma série infinita é a soma de uma sequência infinita de números:

a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a n + ⋯

Onde a n é o n -ésimo termo da série.

Sabemos que há uma variedade de testes para determinarmos a convergência ou divergência de uma série infinita. Antes de iniciarmos este exercício iremos relembrar de alguns testes.

  • Teste do n -ésimo termo:
  • ∑ n = 1 ∞ a n

    • A série converge, quando a n → 0 ;
    • A série diverge, se lim n → ∞ ⁡ a n não existe ou é diferente de zero.
    • Série geométrica:
    • ∑ n = 1 ∞ a r n

    • A série converge, quando r < 1 ;
    • A série diverge, quando   r ≥ 1 .
    • Série p :
    • ∑ n = 1 ∞ 1 n p

    • A série converge, quando p > 1 ;
    • A série diverge, quando p ≤ 1 .
    • Teste da integral seja a n uma sequência de termos positivos. Suponha que a n = f ( n ) , onde f é uma função contínua, positiva e decrescente de x   para todo x ≥ N (sendo N um inteiro positivo). Então:

    ∑ n = 1 ∞ a n

  • A série converge, se ∫ 1 ∞ f ( x )   d x for convergente ( ∫ 1 ∞ f ( x )   d x = M );
  • A série diverge, se ∫ 1 ∞ f ( x )   d x for divergente ( ∫ 1 ∞ f ( x )   d x → ∞ .

Passo 2

Então vamos lá para nosso exercício. Para a série dada no enunciado, podemos utilizar o teste da integral:

∫ 1 ∞ e - n d n

Sabemos que:

∫ 1 ∞ e u d u = e u

Então iremos considerar o seguinte:

  • u = - n
  • Logo:

  • d u = - d n → d n = - d u

Sendo assim:

- ∫ 1 ∞ e u d u = - e u

∫ 1 ∞ e - n d n = - e - n

Concluímos que a série converge pelo teste da integral.

Este já acabou, mas vamos fazer mais exercícios juntos?! Estou te esperando. Até mais.

Resposta

A série converge.

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Suponha que a n0 e b n0 para n ≥ N (N um inteiro). Se lim n → ∞ ⁡ a n b n = ∞ e ∑ a n convergem, algo pode ser dito sobre ∑ b n ? Justifique sua resposta.
Se ∑ a n converge e a n0 para todo n, pode-se dizer algo sobre ∑ 1 a n ? Justifique sua resposta.
Quantos termos da série convergente ∑ n = 1 ∞ 1 n 1,1 devem ser utilizados para estimar seu valor com erro máximo 0,00001?