Enunciado

Quais das séries nos Exercícios 11-40 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. (Quando estiver checando uma resposta, lembre-se de que pode existir mais de uma forma para determinar a convergência ou divergência da série.)

∑ n = 1 ∞ 1 n ( 1 + l n 2 n )

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês? Vamos lá para mais um exercício?! Relembrando que uma série infinita é a soma de uma sequência infinita de números:

a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a n + ⋯

Onde a n é o n -ésimo termo da série.

Sabemos que há uma variedade de testes para determinarmos a convergência ou divergência de uma série infinita. Antes de iniciarmos este exercício iremos relembrar de alguns testes.

  • Teste do n -ésimo termo:
  • ∑ n = 1 ∞ a n

    • A série converge, quando a n → 0 ;
    • A série diverge, se lim n → ∞ ⁡ a n não existe ou é diferente de zero.
    • Série geométrica:
    • ∑ n = 1 ∞ a r n

    • A série converge, quando r < 1 ;
    • A série diverge, quando   r ≥ 1 .
    • Série p :
    • ∑ n = 1 ∞ 1 n p

    • A série converge, quando p > 1 ;
    • A série diverge, quando p ≤ 1 .
    • Teste da integral seja a n uma sequência de termos positivos. Suponha que a n = f ( n ) , onde f é uma função contínua, positiva e decrescente de x   para todo x ≥ N (sendo N um inteiro positivo). Então:

    ∑ n = 1 ∞ a n

  • A série converge, se ∫ 1 ∞ f ( x )   d x for convergente ( ∫ 1 ∞ f ( x )   d x = M );
  • A série diverge, se ∫ 1 ∞ f ( x )   d x for divergente ( ∫ 1 ∞ f ( x )   d x → ∞ ).

Passo 2

Então vamos lá para nosso exercício. Para a série dada no enunciado:

∑ n = 1 ∞ 1 n ( 1 + l n 2 n )

Como a série é positiva, contínua e decrescente para x ≥ 1 , podemos utilizar o teste da integral:

∫ 1 ∞ 1 x ( 1 + l n 2 x ) d x

Para resolvermos esta integral, iremos considerar o seguinte:

u = ln ⁡ x

Logo:

d u = 1 x d x

Sendo assim:

∫ 1 ∞ 1 x ( 1 + l n 2 x ) d x = ∫ 1 1 + u 2 d u

Das regras da integral, sabemos:

∫ d u u 2 + a 2 = 1 a ∙ tan - 1 ⁡ u a

Então para a nossa integral:

∫ 1 1 + u 2 d u = tan - 1 ⁡ u

Logo:

tan - 1 ⁡ u = tan - 1 ⁡ ( ln ⁡ x )

Então temos:

∫ 1 ∞ 1 x ( 1 + l n 2 x ) d x = t a n - 1 ( ln ⁡ x ) 1 ∞

= t a n - 1 ln ⁡ ∞ - t a n - 1 ln ⁡ 1 = π 2

Como a integral converge ( ∫ 1 ∞ f ( x )   d x = M ), então a série é convergente.

Resposta

A série converge.

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