Enunciado

Siga as instruções no Problema 31 para resolver a equação diferencial

y ' ' + 2 y ' + 5 y =   1 ,       0 ≤ t ≤   π / 2   0 ,                       t >   π / 2

com condições iniciais y ( 0 ) = 0 e y ' ( 0 ) = 0 .

Passo 1

Primeiro vamos encontrar a equação característica para a parte homogênea da função:

r 2 + 2 r + 5 = 0

r = - 2 ± 2 2 - 4 1 5 2 1 = - 1 ± 2 i

Onde a = - 1 (parte real) e b = 2 (parte imaginária).

y c = c 1 e - t cos ⁡ 2 t + c 2 e - t sen ⁡ 2 t

Passo 2

Agora, assumindo o intervalo onde y ≤   π / 2 . A solução particular contem termos do lado direito da EDO (1) e tem equivalência com termos seno-cosseno:

y p = A 1 = A

A primeira e segunda derivada da solução particular é nula, colocando essas expressões na EDO, obtemos:

y ' ' + 2 y ' + 5 y = 1

0 + 0 + 5 A = 1

A = 1 5

A solução geral será dada por :

y = y c + y p

y = c 1 e - t cos ⁡ 2 t + c 2 e - t sen ⁡ 2 t + 1 5

Passo 3

Aplicando nas condições dadas:

y 0 = 0

y ' 0 = 0

Determinando a primeira derivada da solução geral:

y ' t = - 2 c 1 e - t s en ⁡ 2 t - c 2 e - t co s ⁡ 2 t - c 2 e - t s en ⁡ 2 t + 2 c 2 e - t cos ⁡ 2 t

Aplicando a condição dada:

y ' t = - 2 c 1 e 0 sen ⁡ 0 - c 2 e 0 cos ⁡ 0 - c 2 e 0 sen ⁡ 0 + 2 c 2 e 0 cos ⁡ 0

c 1 = 0 - 1 5

c 1 = - 1 5

c 2 = 1 2 c 1

c 2 = - 1 10

A solução geral no intervalo será:

y = - 1 5 e - t cos ⁡ 2 t - 1 10 e - t sen ⁡ 2 t + 1 5

Resposta

Para   0 ≤ t ≤   π / 2 :

y = - 1 5 e - t cos ⁡ 2 t - 1 10 e - t sen ⁡ 2 t + 1 5

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