Enunciado

Sob condições ideais sabe-se que uma certa população de bactérias dobra a cada 3 horas. Supondo que inicialmente existam 100 bactérias:

a) Qual o tamanho da população após 15 horas?

b) Qual o tamanho da população após t horas?

c) Qual o tamanho da população após 20 horas?

d) Trace o gráfico da função população e estime o tempo para a população atingir 50000 bactérias.

Passo 1

Fala aí, meus queridos! Vamos dar uma olhadinha nessa questão juntos!

Esse é um problema típico sobre crescimento populacional exponencial. Mas como sabemos disso?

Se liga só! A população vai sempre ser multiplicada por um valor fixo (nesse caso 2 , pois a população dobra) a cada intervalo de tempo. Sempre que isso acontece, temos uma função exponencial!

Vamos ver como resolver cada item dessa questão juntos!

Passo 2

No item a), precisamos encontrar tamanho da população de bactérias depois de 15 horas.

Pra começar, vamos lembrar que cada 3 horas a população de bactérias dobra. Assim, em 15 horas, ela vai ter dobrado cinco vezes. Olha só!

100 → 200 → 400 → 800 → 1600 → 3200

Sendo assim, descobrimos que a população depois de 15 horas é de 3200 bactérias.

Passo 3

No item b), precisamos encontrar o tamanho da população de bactérias depois de t horas. Isso significa que precisamos encontrar uma maneira de expressar o tamanho da população em função do tempo.

Como sabemos que se trata de um crescimento exponencial, vamos partir da sua expressão geral:

y = A 0 b x

A partir das informações que foram dadas, conseguimos determinar os parâmetros A 0 e b .

Como sabemos que a população inicial é de 100 bactérias, podemos dizer que:

A 0 = 100

Além disso, sabemos que a população dobra a cada intervalo de tempo. Então concluímos que:

b = 2

Olha só. A nossa função agora pode ser escrita nessa forma:

y = 100 ⋅ 2 x

Legal! Pra fechar com chave de ouro essa função, precisamos lembrar que a população de bactérias dobra a cada 3 horas. Então podemos fazemos esse ajuste:

x = t 3

Nossa função fica assim:

y = 100 ⋅ 2 t / 3  

Passo 4

No item c), precisamos calcular o tamanho da população depois de 20 horas. Agora que temos a expressão da população em função do tempo, podemos fazer t = 20 . Temos:

y = 100 ⋅ 2 20 / 3

Vamos tentar simplificar esse expressão trabalhando com as potências:

y = 100 ⋅ 2 18 + 2 3 = 100 ⋅ 2 6 ⋅ 2 2 / 3

Lembrando que 2 6 = 64 , e utilizando a aproximação 2 2 / 3 = 4 3 ≈ 1,587 , temos:

y = 100 ⋅ 64 ⋅ 1,587 → y ≈ 10157

Passo 5

Para plotarmos o gráfico, vamos calcular o valor da função pra alguns valores.

t = 0 → y = 100 ⋅ 2 0 → y = 100

t = 15 → y = 100 ⋅ 2 5 → y = 3200

t = 21 → y = 100 ⋅ 2 7 → y = 12800

t = 27 → y = 100 ⋅ 2 9 → y = 51200

Vamos ver como esses pontos ficam no gráfico:

A seguir plotamos um esboço da função y = 100 ⋅ 2 t / 3 e estimamos o encontro com a reta y = 50000 :

Vemos que a exponencial ultrapassa a reta aproximadamente em t ≈ 27 . Assim, após aproximadamente 27 horas a população de bactérias será superior a 50000 .

Resposta

a) 3200 bactérias

b) y = 100 ⋅ 2 t / 3

c) 10157 bactérias

d) 27 horas

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Resolva cada equação em x :
Resolva em x sem usar uma calculadora. Use o logaritmo natural sempre que for necessário usar um logaritmo.
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Resolva em x sem usar uma calculadora. Use o logaritmo natural sempre que for necessário usar um logaritmo.