Enunciado

Determine uma janela retangular apropriada para a função dada e use-a para fazer o gráfico da função.

y = 10   s e n   x + s e n   ( 100 x )

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos juntos resolver mais uma atividade.

Aqui iremos encontrar a janela retangular apropriada para a função dada.

As janelas retangulares são o recorte retangular de um gráfico de uma função exibido por calculadoras e softwares matemáticos. Como temos infinitos valores no plano real, é impossível visualizar o gráfico todo, então é importante escolhermos um intervalo de visualização onde podemos visualizar e entender o corpotamento do gráfico para todos os seus possíveis valores, mas vendo apenas uma janela.

Para determinar uma janela retangular apropriada para o gráfico da função, precisamos considerar alguns aspectos importantes:

1. Comportamento da Função:

  • Extensões: É importante identificar os valores máximo e mínimo da função no intervalo de interesse para definir os limites da janela.
  • Pontos de interesse: Se a função possui pontos específicos de interesse, como raízes, pontos de inflexão ou assíntotas, a janela deve ser ajustada para capturá-los.

2. Escala e Proporção:

  • Visibilidade: A janela deve ser dimensionada de forma que o gráfico da função seja visível e compreensível.
  • Proporção: A proporção da janela (largura/altura) deve ser adequada à forma da função para evitar distorções no gráfico.

Uma forma de encontrarmos a janela retangular é analisarmos o domínio e a imagem da função. E a partir daí encontrarmos os valores X m i n , X m a x , Y m i n e Y m a x . Pois o domínio nos dirá informações sobre os possíveis valores de x que a função pode assumir e a imagem os possíveis valores de y que a função pode assumir. E é isso que iremos fazer aqui.

Passo 2

Considerando a função y = 10 sin ⁡ x + sin ⁡ 100 x , sabemos que a função sin ⁡ x está definida para todos os números reais, de modo que o domínio da função é R .

Observando o termo 10 sin ⁡ x :

Quando traçamos o gráfico da função trigonométrica fornecida, obtemos um período de 10 sin ⁡ x é um intervalo de y em - 10,10 . Pois a função trigonométrica é limitada em y :

- 1 ≤ sin ⁡ x ≤ 1

Multiplicando todos os termos por 10 :

- 10 ≤ 10 sin ⁡ x ≤ 10

Esse será a origem do primeiro limite - 2 π , 2 π que teremos em nosso primeiro retângulo de visualização.

Recordando a propriedade de uma função seno, sabemos que o período de 10 sin ⁡ x é 2 π pois o período da função A sin ⁡ B x é

P = 2 π B

e o alcance é A   =   10 como já dito. Assim, o termo 10 sin ⁡ x tem um valor absoluto maior em comparação com sin ⁡ 100 x . É um termo dominante.

Observando o termo sin ⁡ 100 x :

Com base nas propriedades da função trigonométrica s e n o mais uma vez, o período de sin ⁡ 100 x é

( 2 π / 100 )

e o alcance é - 1,1 considerando que A   =   1 .

No primeiro gráfico onde 10 s i n ⁡ x é dominante, incorporamos o intervalo - 1,1 no intervalo - 10,10 para que possamos incluir o termo sin ⁡ 100 x . Assim, temos o gráfico - 2 π , 2 π por - 11,11 .

Passo 3

Vendo o retângulo - 2 π ,   2 π   X   [ - 11,11 ] :

Veja que nosso gráfico está meio ‘ruidoso’, com oscilações menores dentro da continuidade dele. Vamos dar uma aproximada para vermos melhor:

Vamos utilizar o retângulo - π 25 , π 25   X   - 2,2 :

Para mostrar mais detalhes na curva, ampliamos o gráfico anterior. Assim, obtemos o gráfico - π 25 , π 25 por - 2,2 .

Resposta

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