Enunciado

Suponha que f   e   g sejam duas funções tais que

lim x → a ⁡ g x = 0 e lim x → a ⁡ f x g x   exista. Use o Teorema 1.2.2 para provar que lim x → a ⁡ f x = 0 .

Passo 1

Olá, tudo bem?

Bom, aqui a gente vai usar o teorema que nos diz que:

“O limite do quociente é quociente dos limites, desde que o limite do denominador não seja zero”

Colocando matematicamente, é isso aqui:

lim x → a  ⁡ f x q x   = lim x → a  ⁡ f x lim x → a  ⁡ g ( x )  

Passo 2

Nesse caso o nosso denominador é zero...

Então a gente vai ter que pensar em outro caminho...

Vamos começar com um exemplo desse caso:

lim x → a ⁡ x 2 - a 2 x - a

O limite do denominador é zero. Vamos ver se o limite desse quociente existe. A gente faz assim:

lim x → a ⁡ x 2 - a 2 x - a =   lim x → a ⁡ x - a ( x + a ) x - a

= lim x → a ⁡ x + a = 2 a

Existe! Ou seja, o limite do denominador é zero e o limite do quociente existe!

Isso ocorre porque o limite do numerador também é zero, e nesses casos, a gente pode sempre dividir o numerador pelo denominador, meio que “sumindo” com a função ali debaixo.

Olha só: se o limite do quociente existe e o limite do denominador é zero (que são as condições dessa questão) isso quer dizer que g divide f e se g divide f elas possuem uma mesma raiz, que irá zerar as duas.

Passo 3

Quer ver um exemplo onde isso não acontece?

Vamos pensar nas funções:

f x = x 2 - 2 x + 1

g x = x - 3

Aí pense no limite:

lim x → 3 ⁡ x 2 - 2 x + 1 x - 3

O limite do denominador é zero, mas o do numerador não é. E aí olha o que acontece:

lim x → 3 - ⁡ x 2 - 2 x + 1 x - 3 = 4 0 - =   - ∞

lim x → 3 + ⁡ x 2 - 2 x + 1 x - 3 = 4 0 + =   + ∞

Ou seja, o limite não existe!

Então, se o limite do quociente existe, e o limite do denominador é zero, o limite do numerador também precisa ser zero!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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