Enunciado

Suponha que as funções f ( x ) e g ( x ) e suas primeiras derivadas tenham valores a seguir em x   =   0 e x   = 1 .

x f(x) g(x) f’(x) g’(x)

0 1 1 -3 ½

1 3 5 ½ -4

Encontre os valores das primeiras derivadas das combinações a seguir nos valores dados de x.

Passo 1

  1. 6 f ( x ) - g ( x ) ,   x = 1
  2. Para derivarmos, podemos dizer que h ( x ) = 6 f ( x ) - g ( x ) . Agora queremos a derivada dessa nova função.

    Passo 2

    Como temos uma diferenciação entre f ( x ) e g ( x ) , aplicamos a regra da soma/subtração de derivadas:

    h ' ( x ) = ( 6 f ( x ) - g ( x ) ) ' = 6 f ' ( x ) - g ' ( x )

    Passo 3

    Como queremos a derivada para x = 1 :

    h ' ( 1 ) = 6 f ' ( 1 ) - g ' ( 1 ) = 6 ⋅ 1 2 - ( - 4 ) = 3 + 4

    h ' ( 1 ) = 7

    Passo 4

  3. f ( x ) g 2 ( x ) ,   x = 0
  4. Como fizemos na letra a, podemos dizer que h ( x ) = f ( x ) g 2 ( x ) . Agora queremos a derivada dessa nova função.

    Passo 5

    Primeiro, a gente aplica a regra da multiplicação, porque f ( x ) e g ( x ) estão multiplicando:

    h ' ( x ) = ( f ( x ) g 2 ( x ) ) ' = f ' ( x ) ⋅ g 2 ( x ) + f ( x ) ⋅ g 2 ( x ) '

    Passo 6

    Para derivar g 2 ( x ) ' é só a gente aplicar a regra da potência:

    g 2 ( x ) ' = 2 ⋅ g ( x ) ⋅ g ' ( x )

    Passo 7

    Agora substituímos de volta em h ' ( x ) :

    h ' ( x ) = f ' ( x ) ⋅ g 2 ( x ) + f ( x ) ⋅ 2 ⋅ g ( x ) ⋅ g ' ( x )

    Passo 8

    Como a gente quer h ' ( x ) em x = 0 :

    h ' ( 0 ) = f ' ( 0 ) ⋅ g 2 ( 0 ) + f ( 0 ) ⋅ 2 ⋅ g ( 0 ) ⋅ g ' ( 0 ) =   - 3 ⋅ ( 1 ) 2 + 1 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 1 / 2 =   - 3 + 1

    h ' ( 0 ) =   - 2

    Passo 9

  5. f ( x ) g ( x ) + 1 ,   x = 1
  6. Agora que já fizemos dois exercícios, a gente sabe que h ( x ) = f ( x ) g ( x ) + 1 . E essa nova função é a que queremos saber a derivada.

    Passo 10

    A gente aplica aqui a regra do quociente, porque tem uma divisão entre as funções:

    h ' ( x ) = f ( x ) g ( x ) + 1 ' = f ' ( x ) ⋅ ( g ( x ) + 1 )   -   f ( x ) ⋅ ( g ( x ) + 1 ) ' ( g ( x ) + 1 ) 2 = f ' ( x ) ⋅ ( g ( x ) + 1 )   -   f ( x ) ⋅ g ' ( x ) ( g ( x ) + 1 ) 2

    Passo 11

    A gente precisa calcular a derivada para x = 1 , então:

    h ' ( 1 ) = f ' ( 1 ) ⋅ ( g ( 1 ) + 1 )   -   f ( 1 )   ⋅   g ' ( 1 ) ( g ( 1 )   +   1 ) 2 = 1 / 2 ⋅ ( 5 + 1 )   -   3 ⋅ ( - 4 ) ( 5 + 1 ) 2 = 3   +   12 36 = 15 36

    h ' ( 1 ) = 5 12

    Passo 12

  7. f ( g ( x ) ) ,   x = 0
  8. A gente pode chamar h ( x ) = f ( g ( x ) ) . Da mesma forma das questões que acabamos de resolver.

    Passo 13

    Como a gente quer h ' ( x ) , que é uma função composta, precisamos aplicar regra da cadeia:

    h ' ( x ) = f ( g ( x ) ) ' = f ' ( g ( x ) ) ⋅ g ' ( x )

    Passo 14

    Agora a gente só precisa calcular para x = 0 :

    h ' ( 0 ) = f ' ( g ( 0 ) ) ⋅ g ' ( 0 ) = f ' ( 1 ) ⋅ 1 / 2 = 1 / 2 ⋅ 1 / 2

    h ' ( 0 ) = 1 4

    Passo 15

  9. g ( f ( x ) ) ,   x = 0
  10. Essa questão é bastante parecida com a questão anterior. Chamaremos h ( x ) = g ( f ( x ) )

    Passo 16

    Como a gente quer h ' ( x ) , que é uma função composta, a gente então aplica regra da cadeia:

    h ' ( x ) = g ( f ( x ) ) ' = g ' ( f ( x ) ) ⋅ f ' ( x )

    Passo 17

    Agora a gente só precisa calcular para x = 0 :

    h ' ( 0 ) = g ' ( f ( 0 ) ) ⋅ f ' ( 0 ) = g ' ( 1 ) ⋅ ( - 3 ) =   - 4 ⋅ ( - 3 )

    h ' ( 0 ) = 12

    Passo 18

  11. ( x + f ( x ) ) 3 / 2 ,   x = 1
  12. Queremos a derivada de h ( x ) = ( x + f ( x ) ) 3 / 2

    Passo 19

    Como h ' ( x ) é uma função composta, a gente então aplica regra da cadeia:

    h ' ( x ) = ( x + f ( x ) ) 3 / 2 ' = 3 2 ⋅ ( x + f ( x ) ) 3 / 2   -   1 ⋅ ( x + f ( x ) ) ' = 3 2 ⋅ ( x + f ( x ) ) 1 / 2 ⋅ ( 1 + f ' ( x ) )

    Passo 20

    Agora a gente só precisa calcular para x = 1 :

    h ' ( 1 ) = 3 2 ⋅ ( 1 + f ( 1 ) ) 1 / 2 ⋅ ( 1 + f ' ( 1 ) ) = 3 2 ⋅ ( 1 + 3 ) 1 / 2 ⋅ ( 1 + 1 / 2 ) = 3 2 ⋅ 4 ⋅ ( 3 / 2 ) = 9 4 ⋅ 2

    h ' ( 1 ) = 9 2

    Passo 21

  13. f ( x + g ( x ) ) ,   x = 0

Queremos a derivada de h ( x ) = f ( x + g ( x ) )

Passo 2

Como h ' ( x ) é uma função composta, então aplicamos a regra da cadeia:

h ' ( x ) = f ( x + g ( x ) ) ' = f ' ( x + g ( x ) ) ⋅ ( x + g ( x ) ) ' = f ' ( x + g ( x ) ) ⋅ ( 1 + g ' ( x ) )

Passo 3

Agora a gente só precisa calcular para x = 0 :

h ' ( 0 ) = f ' ( 0 + g ( 0 ) ) ⋅ ( 1 + g ' ( 0 ) ) = f ' ( 0 + 1 ) ⋅ ( 1 + 1 / 2 ) = f ' ( 1 ) ⋅ 3 / 2 = 1 / 2 ⋅ 3 / 2

h ' ( 0 ) = 3 4

Resposta

  1. 7
  2. -2
  3. 5 12
  4. 1 4
  5. 12
  6. 9 2
  7. 3 4
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