Enunciado

78. Suponha que g x ≤ f x ≤ h ( x ) para qualquer x ≠ 2 , e suponha que

lim x → 2 ⁡ g ( x ) = lim x → 2 ⁡ h ( x ) = - 5

Podemos concluir algo com relação aos valores de f, g e h em x = 2 ? É possível que f 2 = 0 ? É possível que lim x → 2 ⁡ f ( x ) = 0 ? Justifique suas respostas.

Passo 1

A gente não pode concluir nada sobre os valores de f , g e h , por que não conhecemos essas funções, elas podem adotar qualquer valor quando x = 2 .

Passo 2

Sim é possível, como a relação g x ≤ f x ≤ h ( x ) não vale para x = 2 , a função f pode ser descontinua nesse ponto e ser definida como 0 .

Passo 3

Porém lim x → 2 ⁡ f ( x ) = 0 não pode ser verdadeiro, pois no limite não analisamos o ponto x = 2 e sim o que está acontecendo perto desse valor.

Acontece que, perto desse valor, a relação g x ≤ f x ≤ h ( x ) está valendo e usando o teorema do sanduíche a gente descobre que lim x → 2 ⁡ f ( x ) = - 5 .

Porque g ( x ) , que é menor que f ( x ) , tende a - 5 e h ( x ) , que é maior, também tende a - 5 . Logo o único valor que existe para f ( x ) conseguir ficar no meio dos dois vai ser o próprio - 5 .

Resposta

Não podemos concluir sobre os valores das funções em x = 2 .

A função f ( x ) pode assumir o valor 0 em x = 2 .

Não é possível que lim x → 2 ⁡ f ( x ) = 0 . Na verdade, pelo teorema do sanduíche lim x → 2 ⁡ f ( x ) = - 5 .

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