Suponha a_n > 0 , n >= 1 . Suponha, ainda que.

lim(n→+∞) (a_n + 1) / a_n = L

Prove que

lim n→+∞ (raiz_n(a_n)) = L

Sugestão

a_n = a_1 ⋅ (a_2 / a_1) ⋅ (a_2 / a_1) ⋅ (a_3 / a_2) … (a_n / a_(n-1))^(1/n)

Passo 1

O método para resolução do limite a seguir foi provado no exercício 5.

l i m n → + ∞ a 2 a 1 ⋅ a 2 a 1 ⋅ a 3 a 2 … a n + 1 a n n =   l i m n → + ∞ a n + 1 a n = L  

Passo 2

E como.

l i m n → + ∞ a 1 n = 1

O resultado final é que.

l i m n → + ∞ a n n = L

Resposta

l i m n → + ∞ a n n = L

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