Seja f : A → R , A ⊂ R , uma função continua em a . Seja a_n uma sequencia tal que, para todo n , a_n ∈ A . Prove que se lim n→+∞ a_n = a , então lim(n→+∞) f(an) = f(a)

Passo 1

Sendo f continua em a , dado ε > 0 , existe δ > 0 tal que

0 > x - a < δ  

Isto implica que

f x - f a < ε

Sendo l i m n → + ∞ a n = a , para o δ > 0 acima existe um numero natural n tal que

n > n 0  

Implicando em

a n - a < δ

Com isso podemos afirmar que se n > n 0 então,

f a n - f ( a ) < ε

Passo 2

Dessa forma é possível afirmar que

l i m n → + ∞ f a n = f ( a )

Resposta

l i m n → + ∞ f a n = f ( a )

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