f(x, y) = x^3 / y, C: y = x^2 / 2, 0 <= x <= 2

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para calcularmos a integral de f ( x , y ) = x 3 y ao longo da curva C , dada por y = x 2 2 com 0 ≤ x ≤ 2 devemos lembrar que, de acordo com a teoria da página 363 , a integral de linha de uma função f ( x , y ) ao longo do caminho C é calculada por ∫ C   f ( x , y , z ) d r ‾ d x d x , onde f ( x , y ) é uma função contínua em C e d r ‾ d x a velocidade instantânea sobre o caminho.

Passo 2

Devemos começar encontrando o vetor posição r → que é dado por r → = x i → + y j → . Do enunciado sabemos que y = x 2 2 . Podemos, então, escrever o vetor posição como: r → ( t ) = x i → + x 2 2 j → , com 0 ≤ x ≤ 2 . Então, temos que d r → d x = i → + x j ‾ e d r → d t = 1 2 + x 2 = 1 + x 2 A função f ( x , x ) = 2 x 3 x 2 = 2 x Podemos agora voltar a forma da integral dada por ∫ C   f ( x , y ) d r ‾ d x d x . Fazendo as substituições de f ( x , y ) e d r → d t calculados anteriormente, teremos então que:

∫ 0 2   ( 2 x ) 1 + x 2 d x = 2 3 1 + x 2 3 / 2 0 2 = 2 3 5 3 / 2 - 1 = 10 5 - 2 3

Passo 3

Obs.: A integral ∫ 0 2   ( 2 x ) 1 + x 2 d x foi resolvida por substituição como segue na sequência. Substituindo u = 1 + x 2 e d u = 2 x d x , teremos que:

∫ 0 2   ( 2 x ) 1 + x 2 d x = ∫ C   u 1 / 2 d u = 2 3 u 3 / 2 1 5

Resposta

∫ 0 2   ( 2 x ) 1 + x 2 d x = 10 5 - 2 3

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