f(x, y) = (x + y^2) / raiz(1 + x^2), C: y = x^2 / 2 entre (1,1/2) e (0,0)

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para calcularmos a integral de f ( x , y ) = x + y 2 1 + x 2 ao longo da curva C , dada por y = x 2 2 e está entre os pontos ( 1,1 / 2 ) e ( 0,0 ) , devemos lembrar que, de acordo com a teoria da página 363, a integral de linha de uma função f ( x , y ) ao longo do caminho C é calculada por ∫ C   f ( x , y ) d r ‾ d t d t , onde f ( x , y ) é uma função contínua em C e d r ‾ d t a velocidade instantânea sobre o caminho.

Passo 2

Devemos começar encontrando o vetor posição r → que é dado por r → = x i → + y j → . Do enunciado sabemos que y = x 2 2 . Se x = 1 - t , podemos, então, escrever o vetor posição como: r → ( t ) = ( 1 - t ) i → + ( 1 - t ) 2 2 j → , com 0 ≤ t ≤ 1 . Então, temos que d r → d t = - i → + ( - 1 + t ) j → e d r ‾ d t = ( - 1 ) 2 + ( - 1 + t ) 2 = 1 + 1 - 2 t + t 2 = 1 + ( 1 - t ) 2 A função f 1 - t , ( 1 - t ) 2 / 2 = ( 1 - t ) + 1 4 ( 1 - t ) 4 1 + ( 1 - t ) 2 .Podemos agora voltar a forma da integral dada por ∫ C   f ( x , y ) d r ‾ d t d t .

Passo 3

Fazendo as substituições de f ( x , y ) e d r ‾ d t calculados anteriormente, teremos então o resultado final que é:

  ∫ 0 1     ( 1 - t ) + 1 4 ( 1 - t ) 4 1 + ( 1 - t ) 2 1 + ( 1 - t ) 2 d t = ∫ 0 1     ( 1 - t ) + 1 4 ( 1 - t ) 4 d t = - 1 2 ( 1 - t ) 2 - 1 20 ( 1 - t ) 5 0 1 =   = 0 - - 1 2 - 1 20 = 11 20

Passo 4

Obs.: A integral ∫ 0 1   ( 1 - t ) + 1 4 ( 1 - t ) 4 d t foi resolvida por substituição como segue: Substituindo u = 1 - t e d u = - d t , teremos que:

∫ C   ( 2 x ) 1 + x 2 d x = ∫ C   - u + 1 4 u 4 d u = - u 2 2 + 1 20 u 5 C

Resposta

  ∫ 0 1     ( 1 - t ) + 1 4 ( 1 - t ) 4 1 + ( 1 - t ) 2 1 + ( 1 - t ) 2 d t   = 11 20

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