Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas) - Capítulo 2.6 - Ex. 69

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Trace o gráfico de uma função   y = f x que satisfaça as condições dadas.

f 0 = 0 , f 1 = 2 , f - 1 = - 2 , lim x → - ∞ ⁡ f x = - 1 e l i m x → ∞ f x = 1

Passo 1

O primeiro passo é olhar o tipo de resposta que o limite apresenta, ou seja, se zero, um número ou . Com isso, nós podemos ver qual tipo de função se encaixa melhor para cada caso.

Na questão temos que, l i m x → ∞ f x = 1 e lim x → - ∞ ⁡ f x = - 1 , isso significa que uma divisão de polinômios de mesmo grau, cairia bem já que nesses casos, quando x → ∞ o limite dará um número. Veja no exemplo abaixo:

lim x → ∞ ⁡ x 2 + 2 x + 1 x 2 - 3 = lim x → ∞ ⁡ x 2 x 2 + 2 x x 2 + 1 x 2 x 2 x 2 - 3 x 2 =     lim x → ∞ ⁡ 1 + 2 x + 1 x 2 1   - 3 x 2

=   l i m x → ∞ 1 + 2 x + 1 x 2 l i m x → ∞ 1 - 3 x 2 =   l i m x → ∞ 1 +   l i m x → ∞ 2 x +   l i m x → ∞ 1 x 2 l i m x → ∞ 1 -     l i m x → ∞ 3 x 2 = 1 +   0 + 0 1 - 0 = 1 1 = 1 .

Passo 2

O segundo passo é lembra que f 0 = 0 , f 1 = 2 , f - 1 = - 2 , isso nos faz lembrar que essa função não pode ser definida de qualquer jeito, então quando formos definir a cara dela precisamos coloca-la de um jeito que a substituição de x = 0 ,     x = 1 e x = - 1   fique simples.

Passo 3

O terceiro passo é perceber que o limite dessa função assume valores diferentes quando x > 0   e quando x < 0 , então vamos separar o problema em duas partes, ou seja, vamos imaginar a cara da função quando x > 0   e quando x < 0 .

Para isso vamos ver que a cara da f ( x ) quando l i m x → ∞ f x = 1 , sabendo que ela tem que ser uma divisão de polinômios de mesmo grau e que quando x = - 1 , f - 1 = - 2 .

Então quando x < 0 podemos pensar em escrever f ( x ) assim:

f x = x 3 - 3 x 2 1 - x 3

O que é TOP pois,

l i m x → - ∞ f x =   l i m x → - ∞ x 3 - 3 x 2 1 - x 3 =  

Como estamos com polinômios, vamos dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x,

l i m x → - ∞ x 3 - 3 x 2 1 - x 3 =   l i m x → - ∞ x 3 x 3 - 3 x 2 x 3 1 x 3 - x 3 x 3 =   l i m x → - ∞ 1   - 3 x 1 x 3 - 1  

Usando a regra do quociente (o limite do quociente é o quociente dos limites) e da subtração (o limite da subtração é a subtração dos limites),

l i m x → - ∞ 1   - 3 x 1 x 3 - 1   =   l i m x → - ∞ ( 1   - 3 x ) l i m x → - ∞ ( 1 x 3 - 1 ) = l i m x → - ∞ 1   - l i m x → - ∞ 3 x l i m x → - ∞ 1 x 3 - l i m x → - ∞ 1 =   1 - 0 0 - 1 = 1 - 1 = - 1  

E f - 1 = ( - 1 ) 3 - 3 ( - 1 ) 2 1 - ( - 1 ) 3 = - 4 2 = - 2 .

E como 1 não está no domínio, então não temos com o que nos preocupar.

Mas ainda tem os valores que f ( x ) assume quando x > 0   , e nessa situação sabemos que lim x → - ∞ ⁡ f x = - 1 , que f ( x ) tem que ser uma divisão de polinômios de mesmo grau e que quando x = 1 , f 1 = 2 .

Então quando x > 0 podemos pensar em escrever f ( x ) assim:

f x = x 3 + 3 x 2 1 + x 3

Isso é legal porque, usando as mesmas regras que usamos anteriormente,

l i m x → ∞ f x =   l i m x → ∞ x 3 + 3 x 2 1 + x 3 =   l i m x → ∞ x 3 x 3 + 3 x 2 x 3 1 x 3 + x 3 x 3 =   l i m x → ∞ 1 + 3 x l i m x → ∞ 1 x 3 + 1

= l i m x → ∞ 1 + l i m x → ∞ 3 x   l i m x → ∞ 1 x 3 + l i m x → ∞ 1 = 1 + 0 0 + 1 = 1 1 = 1 .

E,

f 1 = ( 1 ) 3 + 3 ( - 1 ) 2 1 + ( 1 ) 3 = 4 2 = 2 .

E como - 1       não está no intervalo que estamos consideramos, então não temos com o que nos preocupar. Além disso, independentemente do valor de x vamos encontrar que f 0 = 0 .

E portanto,

f x = x 3 - 3 x 2 1 - x 3 ,     x < 0 x 3 + 3 x 2 1 + x 3 ,     x ≥ 0

Resposta

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