Enunciado

Sem usar identidades trigonométricas, encontre

lim x → 0 ⁡ tg ⁡ x + y - tg ⁡ y x

[Sugestão: Relacione o limite dado com a definição de derivada de uma função apropriada de y .]

Passo 1

Aqui analisando dá pra ver que podemos aplicar a derivada do limite pela definição:

lim x → 0 ⁡ tg ⁡ x + y - tg ⁡ y x = lim h → 0 ⁡ tg ⁡ h + h - tg ⁡ y h

Pronto, agora temos algo familiar, esse limite é a derivada de tg ⁡ y calculada pela definição, e já sabemos qual é essa derivada:

f ' tg ⁡ y = lim h → 0 ⁡ tg ⁡ h + h - tg ⁡ y h = d d y tg ⁡ y = sec 2 ⁡ y

Pronto, encontramos o valor desse limite sem usar identidades trigonométricas.

Resposta

lim x → 0 ⁡ tg ⁡ x + y - tg ⁡ y x = sec 2 ⁡ y

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