Enunciado

Use a Definição 2.1.1 para provar que se

underset(x -> a)(lim) f (x) = L e underset(x -> a)(lim) g (x) = M

Então

underset(x -> a)(lim) [ f (x) - g ( x ) ] = L - M

Passo 1

Para satisfazer a Definição 2.1.1 precisamos mostrar que para todo ϵ > 0 , existe um delta > 0 que satisfaça o limite:

underset(x -> a)(lim) [ f (x) - g ( x ) ] = underset(x -> a)(l i m) f ( x ) - underset(x -> a)(l i m) g ( x ) = L - M

Sendo assim:

0 < |x - a| < delta

|[f (x) - g (x)] - [ L - M ]| < ϵ

Passo 2

Para provar que podemos reagrupar:

|[f (x) - g (x)] - [ L - M ]| = | (f (x) - L) + ( - g (x) + M ) |

Usando a desigualdade triangular:

|a + b| <= |a| + | b |

|(f (x) - L) + (- g (x) + M)| <= |(f (x) - L)| + | - g (x) + M |

Reorganizando:

|(f (x) - L) + (- g (x) + M)| <= |(f (x) - L)| + | - ( g (x) - M ) |

Sabendo que o módulo de um número negativo é igual ao seu módulo positivo:

|(f (x) - L) + (- g (x) + M)| <= |(f (x) - L)| + | ( g (x) - M ) |

Como ϵ e delta são distâncias, sendo assim podemos escolher valores de delta_1 e delta_2 mínimos. Da mesma forma, queremos valores de ϵ mínimos, então podemos assumir que vale (ϵ)/(2) .

Concluímos então que:

0 < |x - a| < delta_1 , e n t ã o |f (x) - L| < (ϵ)/(2)

0 < |x - a| < delta_1 , e n t ã o |g (x) - M| < (ϵ)/(2)

Se delta for o menor dos dois números, delta_1 e delta_2 , então:

0 < |x - a| < delta , e n t ã o |f (x) - L| < (ϵ)/(2)

0 < |x - a| < delta , e n t ã o |g (x) - M| < (ϵ)/(2)

Logo,

Se: 0 < |x - a| < delta

Então:

|(f (x) - L) + (- g (x) + M)| <= |(f (x) - L)| + | - ( g (x) - M ) | < (ϵ)/(2) - (ϵ)/(2)

|[f (x) - g (x)] - [ L - M ]| < ϵ

Sendo assim:

underset(x -> a)(lim) [ f (x) - g ( x ) ] = L - M

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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