Use a Definição 2.1.1 para provar que se

lim x → a ⁡ f x = L e lim x → a ⁡ g x = M

Então

lim x → a [ ⁡ f x - g ( x ) ] = L - M

Passo 1

Para satisfazer a Definição 2.1.1 precisamos mostrar que para todo ϵ > 0 , existe um δ > 0 que satisfaça o limite:

lim x → a [ ⁡ f x - g ( x ) ] = l i m x → a   f ( x ) - l i m x → a   g ( x ) = L - M

Sendo assim:

0 < x - a < δ

f x - g x - [ L - M ] < ϵ

Passo 2

Para provar que podemos reagrupar:

f x - g x - [ L - M ] = | f x - L + ( - g x + M ) |

Usando a desigualdade triangular:

a + b ≤ a + | b |

f x - L + - g x + M ≤ f x - L + | - g x + M |

Reorganizando:

f x - L + - g x + M ≤ f x - L + | - ( g x - M ) |

Sabendo que o módulo de um número negativo é igual ao seu módulo positivo:

f x - L + - g x + M ≤ f x - L + | ( g x - M ) |

Como ϵ e δ são distâncias, sendo assim podemos escolher valores de δ 1 e δ 2 mínimos. Da mesma forma, queremos valores de ϵ mínimos, então podemos assumir que vale ϵ 2 .

Concluímos então que:

0 < x - a < δ 1 ,           e n t ã o   f x - L < ϵ 2

0 < x - a < δ 1 ,           e n t ã o   g x - M < ϵ 2

Se δ for o menor dos dois números, δ 1 e δ 2 , então:

0 < x - a < δ ,           e n t ã o   f x - L < ϵ 2

0 < x - a < δ ,           e n t ã o   g x - M < ϵ 2

Logo,

Se: 0 < x - a < δ

Então:

f x - L + - g x + M ≤ f x - L + | - ( g x - M ) | < ϵ 2 - ϵ 2

f x - g x - [ L - M ] < ϵ

Sendo assim:

lim x → a [ ⁡ f x - g ( x ) ] = L - M

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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