Enunciado

Use a Definição 2.1.1 para provar que se

underset(x -> a)(lim) f (x) = L e underset(x -> a)(lim) g (x) = M = 0

Então

underset(x -> a)(lim) [ f (x) . g ( x ) ] = 0

Passo 1

Para satisfazer a Definição 2.1.1 precisamos mostrar que para todo ϵ > 0 , existe um delta > 0 que satisfaça o limite:

underset(x -> a)(lim) [ f (x) . g ( x ) ] = underset(x -> a)(l i m) f ( x ) . underset(x -> a)(l i m) g ( x ) = L . M

Sendo assim:

0 < |x - a| < delta

|underset(x -> a)(l i m) f (x) . underset(x -> a)(l i m) g (x)| < ϵ

Passo 2

O problema nos forneceu que

underset(x -> a)(lim) f (x) = L

Então, para todo ϵ > 0 , existe um delta_1 > 0 tal que:

0 < |x - a| < delta_1

|f (x) - L| < ϵ

Assumindo que ϵ é uma distância mínima podemos assumir que:

|f (x) - L| < 1

Utilizando a desigualdade triangular:

|a| - |b| <= | a - b |

|f (x)| - |L| <= |f (x) - L|

|f (x)| - |L| < 1

Então:

0 < |x - a| < delta_1

|f (x)| < 1 + | L |

E, portanto, existe um delta_1 > 0 , tal que:

0 < |x - a| < delta_1

|f (x)| |g (x)| = (1 + |L|) . |g (x)| < ϵ

|g (x)| < (ϵ)/(1 + |L|)

Assim, sendo ϵ > 0 , considera-se (ϵ)/(1 + |L|) para ser utilizado na definição de limite da função g (x) tendendo a a da seguinte forma: existe delta_2 > 0 , tal que:

Se

0 < |x - a| < delta_2

Então:

|g (x)| < (ϵ)/(1 + |L|)

Se delta for o menor dos dois números, delta_1 e delta_2 :

Se:

0 < |x - a| < delta

Então:

|f (x) . g (x)| = |f (x) | . | g (x)| < (1 + |L|) . (ϵ)/((1 + |L|)) = ϵ

Sendo assim:

underset(x -> a)(lim) [ f (x) . g ( x ) ] = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule o limite abaixo utilizando as propriedades de Limites. lim t → 2 ⁡ t 2 - 5 t + 6 t - 2
Calcule o limite abaixo utilizando as propriedades de Limites. lim x → π 2 ⁡ [ 2s e nx - cos ⁡ x + c o t gx ]
Calcule o limite abaixo utilizando as propriedades de Limites. lim x → 2 ⁡ 2 x 2 - x 3 x
Calcule o limite abaixo utilizando as propriedades de Limites. lim x → 1 ⁡ x 2 - 1 x - 1
Calcule o limite abaixo utilizando as propriedades de Limites. lim t → 2 ⁡ t + 3 t + 2