Use a Definição 2.1.1 para provar que se

lim x → a ⁡ f x = L e lim x → a ⁡ g x = M = 0

Então

lim x → a [ ⁡ f x . g ( x ) ] = 0

Passo 1

Para satisfazer a Definição 2.1.1 precisamos mostrar que para todo ϵ > 0 , existe um δ > 0 que satisfaça o limite:

lim x → a [ ⁡ f x . g ( x ) ] = l i m x → a   f ( x ) . l i m x → a   g ( x ) = L . M

Sendo assim:

0 < x - a < δ

l i m x → a   f x . l i m x → a   g x < ϵ

Passo 2

O problema nos forneceu que

lim x → a ⁡ f x = L

Então, para todo ϵ > 0 , existe um δ 1 > 0 tal que:

0 < x - a < δ 1

f x - L < ϵ

Assumindo que ϵ é uma distância mínima podemos assumir que:

f x - L < 1

Utilizando a desigualdade triangular:

a - b ≤ | a - b |

f x - L ≤ f x - L

f x - L < 1

Então:

0 < x - a < δ 1

f x < 1 + | L |

E, portanto, existe um δ 1 > 0 , tal que:

0 < x - a < δ 1

f x g x = 1 + L . g x < ϵ

g x < ϵ 1 + L  

Assim, sendo ϵ > 0 , considera-se ϵ 1 + L para ser utilizado na definição de limite da função g x tendendo a a da seguinte forma: existe δ 2 > 0 , tal que:

Se

0 < x - a < δ 2

Então:

g x < ϵ 1 + L

Se δ for o menor dos dois números, δ 1 e δ 2 :

Se:

0 < x - a < δ            

Então:

  f x . g x =   f x | . | g x < 1 + L . ϵ 1 + L = ϵ

Sendo assim:

lim x → a [ ⁡ f x . g ( x ) ] = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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