Enunciado

Use o gráfico da função f para dizer o valor de cada limite, se exisitir. Se não existir, explique por quê .

a) lim x → 0 - ⁡ f x

b) lim x → 0 + ⁡ f x

c) lim x → 0 ⁡ f ( x )

f x = x 2 + x x 3 + x 2

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

f x = x 2 + x x 3 + x 2

E nosso objetivo é encontrar os valores de lim x → 0 - ⁡ f x , lim x → 0 + ⁡ f x e lim x → 0 ⁡ f x a partir do gráfico de f .

Tem ideia de como fazemos isso?

O limite de uma função é nada mais do que o valor que a função tende a assumir quando se aproxima de um certo valor.

Então vamos esboçar o gráfico da função e analisar os valores que a função tende a assuir em x = 0 - , 0 + e 0 .

Veja só!

Passo 2

Vamos começar esboçando a função

f x = x 2 + x x 3 + x 2

Quando x = - 1 , f - 1 = 0 . Perceba que para x < 0 , a função é sempre negativa já que x > x 2 .

A partir de x > 0 a função é positiva pois tanto o numerador quanto o denominador são positivos.

Simplificando a função, temos

f x = x x + 1 x 2 x + 1 = x + 1 x + 1

Portanto a função terá essa cara, mas por conta da simplificação, consideramos que x > 0 , então na verdade o lado negativo de x será invertido para o - y ...

Montando as peças desse quebra-cabeça, nossa função terá a mesma cara de f x = x x porem deslocado uma unidade para a esquerda já que temos x + 1 no lugar de x .

Além disso, vamos pegar a parte negativa de x e inverter para a parte negativa de y .

Dessa forma, nossa função será dada por

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos observar nossa função e determinar os valores dos limites que foram pedidos...

No item a) queremos lim x → 0 - ⁡ f x

Ou seja, o valor que f x assume quando x tende a 0 pela esquerda...

Perceba que em x = 0 - a função tende a - 1 , portanto

lim x → 0 - ⁡ f x = - 1

Show?

Passo 4

No item b), queremos obter lim x → 0 + ⁡ f x , ou seja, o valor que f x tende a assumir quando x tende a 0 pela direita...

Pelo gráfico, percebemos que como agora x é positivo, f x tende a 1 , logo

lim x → 0 + ⁡ f x = + 1

Bacana, não é?

Passo 5

Por fim, no item c) queremos obter o valor de lim x → 0 ⁡ f ( x ) .

Aqui vamos aplicar uma propriedade importante... percebeu que os limites laterais de f x em x = 0 não são os mesmos?

Quando isso acontece, podemos afirmar que o limite naquele ponto não existe pois ele diverge.

Logo, como

lim x → 0 - ⁡ f x ≠ lim x → 0 + ⁡ f x

lim x → 0 ⁡ f ( x ) = ∄

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

a) lim x → 0 - ⁡ f x = - 1

b) lim x → 0 + ⁡ f x = + 1

c) lim x → 0 ⁡ f ( x ) = ∄

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71-74. Escreva por extenso as definições dos limites dados na nota da margem da página 105) e use sua definição para provar que o limite dado está correto.71. b) lim x → 1 - ⁡ 1 1 - x = + ∞
65-70. Use as definições do Exercício 27 para provar que o limite lateral dado está correto.65. lim x → 2 + ⁡ x + 1 = 3
71-74. Escreva por extenso as definições dos limites dados na nota da margem da página 105) e use sua definição para provar que o limite dado está correto.74. b) lim x → - ∞ ⁡ x 3 + 5 = - ∞
75. De acordo com a lei de Ohm, quando uma voltagem de V volts é aplicada através de um resistor com uma resistência de R ohms, uma corrente de I = V R ampéres circula através do resistor.a) Quanta co
(a)Complete a tabela e dê um palpite sobre o limite indicado. f x = arctan ⁡ 1 x , lim x → 0 + ⁡ f ( x ) (b)Use a Figura 1.3.3 para encontrar o valor exato do limite na parte (a).