Enunciado

Use o método de Newton para aproximar a raiz indicada da equação com precisão de seis casas decimais.

A raiz positiva de sen ⁡ x = x 2

Passo 1

Vamos lá aplicar o método de Newton, para isso vamos usar sua fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Primeiro temos que f x = sen ⁡ x - x 2

Vamos agora precisar de f ' x , vamos calcular então!!

Passo 2

Para achar a derivada de f vamos usar duas regras de derivação, o da função trigonométrica e do polinômio:

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

x n ' = n x n - 1

Vamos calcular f ' x :

f ' x = sen ⁡ x - x 2 ' = cos ⁡ x - 2 x 2 - 1 = cos ⁡ x - 2 x

Passo 3

Pronto, agora que temos f ' x é só jogar na fórmula de Newton:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n → x n + 1 = x n - sen ⁡ x n - x n 2 cos ⁡ x n - 2 x n

Vamos agora analisar qual valor usar para x 1 , como ele quer a raiz positiva, vamos usar x 1 = 1 , pronto, agora é só substituir, vamos lá então:

x 1 + 1 = x 2 = x 1 - sen ⁡ x 1 - x 1 2 cos ⁡ x 1 - 2 x 1 = 1 - sen ⁡ 1 - 1 2 cos ⁡ 1 - 2.1 ≈ 0,891396

Como queremos uma precisão de seis casas decimais, vamos continuar usando o método de Newton até o valor de x n deixar de variar, vamos lá:

x 2 + 1 = x 3 = x 2 - sen ⁡ x 2 - x 2 2 cos ⁡ x 2 - 2 x 2 = 0,891396 - sen ⁡ 0,891396 - 0,891396 2 cos ⁡ 0,891396 - 2.0,891396 ≈ 0,876985

Mais uma vez, agora com x 4 :

x 3 + 1 = x 4 = x 3 - sen ⁡ x 3 - x 3 2 cos ⁡ x 3 - 2 x 3 = 0,876985 - sen ⁡ 0,876985 - 0,876985 2 cos ⁡ 0,876985 - 2.0,876985 ≈ 0,876726

Vamos lá, uma hora acaba, agora x 5 :

x 4 + 1 = x 5 = x 4 - sen ⁡ x 4 - x 4 2 cos ⁡ x 4 - 2 x 4 = 0,876726 - sen ⁡ 0,876726 - 0,876726 2 cos ⁡ 0,876726 - 2.0,876726 ≈ 0,876726

Pronto, o valor não varia mais, então a raiz é 0,876726 .

Resposta

A raiz é 0,876726 .

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