Enunciado

Use um recurso gráfico para estimar o valor de k   ( k   >   0 ) de tal modo que a região delimitada por y   = 1 /   ( 1   +   k x 2 ) , y   =   0 ,     x   =   0 e x   =   2 tenha uma área de 0,6 unidade de área.

Passo 1

Podemos calcular a área dessa região através da integral:

A = ∫ 0 2 1 1 + k x 2 d x

Isso porque queremos a área entre o gráfico da região e o eixo x   ( y = 0 ) , no intervalo [ 0,2 ] .

Mas ele diz que essa área é igual a 0,6 . Ou seja,

∫ 0 2 1 1 + k x 2 d x = 0,6

Então o que a gente pode fazer é resolver essa integral do lado esquerdo dessa equação e depois resolver ela para achar k . Vem comigo!

Passo 2

Vamos reescrever a integral:

∫ 1 1 + k x 2 d x = ∫ 1 1 + k   x 2 d x

E usar a substituição:

u = k   x ∴ d u d x = k ∴ d u k = d x

Aí a integral fica:

∫ 1 1 + k   x 2 d x = 1 k ∫ 1 1 + u 2 d u = 1 k a r c t g ( u )

Mas u = k   x , então:

∫ 1 1 + k x 2 d x = 1 k   a r c t g   k   x

Passo 3

Lembrando que ela é uma integral definida, precisamos terminar as continhas:

∫ 0 2 1 1 + k x 2 d x = 1 k   a r c t g   k   x   | 2 0 = 1 k   a r c t g   2 k  

Mas a gente sabe que essa integral também vale 0,6 . Então:

1 k   a r c t g   2 k = 0,6

Usando a calculadora gráfica do Geogebra (dá para acessar pelo navegador) para resolver essa equação para k , podemos dizer que:

k ≈ 5,081435

Uhul! Conseguimos!

Resposta

k ≈ 5,081435

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51-a) Use um CAS para encontrar o valor exato da integral ∫ 0 π 6 s e n 4 x c o s 3 xd x b)Confirme o valor exato calculando à mão.[Sugestão: Use a identidade cos 2 ⁡ x = 1 - s e n 2 x ]