Enunciado

Use um recurso gráfico para, na mesma tela, colocar a curva y = x 2 4 , a reta tangente a essa curva em x = 1 e a reta secante que passa pelos pontos 0,0 e 2,1 da curva.

Passo 1

Primeiros vamos usar a Definição 2.2 . 1 para encontrar a derivada em x = 1 :

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Vamos então aplicar:

f ' 1 = lim h → 0 ⁡ f 1 + h - f 1 h = lim h → 0 ⁡ 1 + h 2 4   - 1 2 4 h

Agora vamos manipular o limite:

lim h → 0 ⁡ 1 + h 2 4   - 1 2 4 h = lim h → 0 ⁡ 1 + h 2 - 1 2 4   h = lim h → 0 ⁡ 1 + h 2 - 1 2 4 ⋅ 1 h = lim h → 0 ⁡ 1 + 2 h + h 2 - 1 4 h =

= lim h → 0 ⁡ 2 h + h 2 4 h

E por último vamos cancelar o termo h do numerador e do denominador e vamos aplicar o limite:

lim h → 0 ⁡ 2 h + h 2 4 h = lim h → 0 ⁡ 2 + h 4 = 2 + 0 4 = 1 2

Passo 2

Agora vamos encontrar a reta tangente ao gráfico de y = f x em x = 1 .

A equação da reta tangente é do seguinte formato:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

Onde x 0 , y 0 é o ponto da reta tangente à curva e f ' x 0 é a inclinação da reta tangente.

Passo 3

Falta achar apenas f 1 :

f 1 = 1 2 4 = 1 4

Pronto, temos todas as informações, vamos então substituir os valores na equação, o ponto 1 , 1 4 e a inclinação f ' 1 = 1 2 :

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0 →

y - 1 4 = 1 2 x - 1 →

y - 1 4 = 1 2 x - 1 2 →

y = 1 2 x - 1 2 + 1 4 →

y = 1 2 x + - 2 + 1 4 →

y = 1 2 x - 1 4

Passo 4

Vamos agora achar a reta secante, ela é do formato:

y - f x 0 = m x - x 0

Vamos achar a inclinação, ela passa pelos pontos 0,0 e 2,1 , então podemos achar a inclinação assim:

m = f x - f x 0 x - x 0

Usando x , f x = 0,0 e x 0 , f x 0 = 2,1 e substituindo:

m = f x - f x 0 x - x 0 = 0 - 1 0 - 2 = 1 2

Agora é só substituir na equação:

y - f x 0 = m x - x 0 →

y - 0 = 1 2 x - 0 →

y = 1 2 x

Passo 5

Pronto, agora temos o gráfico da curva, em verde, de sua tangente, em roxo e de sua secante, em preto:

Resposta

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