Enunciado

14 – Use a regra de l’ Hôpital para determinar o limite do exercício abaixo:

lim x → 0 ⁡ 8 x 2 cos ⁡ x - 1

Passo 1

Primeiramente vamos considerar t = 0.

8 ⋅ 0 2 cos ⁡ 0 - 1 = 0 1 - 1 = 0 0

Temo então uma indeterminação, para resolver este exercício aplicaremos a regra de l’ Hôpital, que consiste em derivar o numerador e derivar o denominador.

Considerando f x = 8 x 2 e g x = cos ⁡ x - 1

Para a regra teremos o seguinte:

l i m x → 0 f ' ( x ) g ' ( x )

Derivando f ( x )

Dado a regra de derivada:

x n = n x n - 1 Lembrando que a derivada de uma constante sempre será 0.

2 ⋅ 8 x 2 - 1 = 16 x

Derivando: g ( t )

- s e n   x - 0 =   - s e n   x  

Inserindo as derivadas e resolvendo o limite teremos:

l i m t → 0     16 x - s e n   x   = 16 ⋅ 0 - s e n   0 = 0 0  

Passo 2

Como deu uma indeterminação teremos que calulcar a derivada novamente:

Derivada de : 16 x = 16 e derivada de: - s e n   x =   - cos ⁡ x

Passo 3

Inserindo as derivadas novamente e resolvendo o limite teremos:

l i m t → 0     16 - cos ⁡ x   = 16 - 1 = - 16  

Resposta

Logo o lim x → 0 ⁡ 8 x 2 cos ⁡ x - 1 =   - 1 6

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