Enunciado

Use uma série de Maclaurin derivada nesta seção para obter a série de Maclaurin para a função dada .

f x = x cos ⁡ 2 x

Passo 1

Bom, para resolvermos esta questão não precisamos desenvolver nenhuma série de Maclaurin em si. Basta voltarmos na seção do livro e adaptarmos as séries já desenvolvidas! Portanto, vamos dividi-la em duas etapas: determinar a série de Maclaurin para cos ⁡ 2 x e obter a representação final para nossa função

Vamos começar relembrando qual a série para a função f x = cos ⁡ x . Temos então a seguinte série:

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

Pronto, precisamos pegar esta série acima e adaptá-la de alguma forma para o nosso problema.

Percebam que a diferença entre cos ⁡ x e cos ⁡ 2 x . Se fizermos x = 2 x na primeira equação, obteremos a segunda. Pronto, esta é a ideia do que precisamos fazer. No lugar de x na série acima, vamos substituir por 2 x . Portanto,

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( 2 x ) 2 n 2 n !

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n ⋅ x 2 n 2 n !

Passo 2

Agora, vamos substituir a função cos ⁡ 2 x pela sua representação em série na função da questão. Logo,

f x = x ⋅ ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n ⋅ x 2 n 2 n !

E agora, basta multiplicarmos!

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n ⋅ x 2 n + 1 2 n !

Pronto! Chegamos à série de Maclaurin para a função f x = x cos ⁡ 2 x .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n ⋅ x 2 n + 1 2 n !

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