Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.9 - Ex. 10
Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ; ou seja, calcule o fluxo de através de .
, é a superfície do tetraedro limitado pelos planos .
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Vamos calcular o divergente do campo :
Passo 2
A região de integração é um tetraedro. Assim os limites das variáveis são:
E o diferencial de volume vai ser
Agora é só colocar na integral!
Passo 3
A primeira integral fica
Assim
Agora a segunda integral
Finalmente a nossa integral fica
Resposta
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11. Seja F o campo do exercício anterior e seja γ t = cos t , sin t 0tπ 2 Calcule ∫ γF ⋅ n d S Onde n é a normal com componente y0(Sugestão. Escolha um compacto K conveniente e aplique o teorema d
13. Seja f x , y = x 3 ,- 3 x 2 y , γ 1 = t ,e t 2 - 1 ,0 ≤ t ≤ 1 e γ 2 = t , t 2 ,0 ≤ t ≤ 1 . Seja, n 1 a normal de γ 1 com componente y0 e n 2 a normal de γ 2 com componente yCalcule ∫ γ 1F ⋅ n d S
Seja v : Ω ⊂ R 2 → R de classe C 2 no aberto Ω e sejam γ e K como no exercício anterior. Prove que se ∇ 2 v = 0 no interior de K e v γ t = 0 em a , b , então v x , y = 0 para todo x , y ∈ K . Suponha,
Seja F → x , y = x 3 y 3 i → + 3 y - 3 4 x 2 y 4 j → e seja y t = t 3 ,s e n 4 arctan t 2 ,0 ≤ t ≤ 1 .Seja α a área do conjunto limitado pelo eixo x e pela curva γ . ∫ γ F →⋅ n →d s onde n → é a nor
Sejam γ e K como no exercício 8 . Seja F x , y uma função a valores reais definida e contínua no interior de K e seja f x uma função a valores reais definida e contínua em ] a , b [ . Considere o prob