Enunciado

Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ∬ c F → ⋅ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S .

F → x , y , z = x 2 y i → + x y 2 j → + 2 x y z k → , S   é a superfície do tetraedro limitado pelos planos x = 0 ,   y = 0 ,   z = 0   e   x + 2 y + z = 2 .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos calcular o divergente do campo F → :

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x x 2 y + ∂ ∂ y x y 2 + ∂ ∂ z 2 x y z = 6 x y

Passo 2

A região de integração é um tetraedro. Assim os limites das variáveis são:

0 ≤ x ≤ 2 - 2 y 0 ≤ y ≤ 1 0 ≤ z ≤ 2 - x - 2 y

E o diferencial de volume vai ser d V = d z d x d y

Agora é só colocar na integral!

Passo 3

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ 0 1 ∫ 0 2 - 2 y ∫ 0 2 - x - 2 y 6 x y d z d x d y = 6 ∫ 0 1 y ∫ 0 2 - 2 y x ∫ 0 2 - x - 2 y d z d x d y

A primeira integral fica

∫ 0 2 - x - 2 y d z = 2 - x - 2 y

Assim

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 6 ∫ 0 1 y ∫ 0 2 - 2 y x 2 - x - 2 y d x d y  

Agora a segunda integral

∫ 0 2 - 2 y x 2 - x - 2 y d x = ∫ 0 2 - 2 y 2 x - x 2 - 2 x y d x = x 2 - x 3 3 - x 2 y 0 2 - 2 y

x 2 1 - x 3 - y 0 2 - 2 y = 2 - 2 y 2 1 - 2 - 2 y 3 - y = 2 - 2 y 2 1 - y 3    

= 4 - 8 y + 4 y 2 1 - y 3 = 4 - 8 y + 4 y 2 - 4 y + 8 y 2 - 4 y 3 3

= 4 - 12 y + 12 y 2 - 4 y 3 3

Finalmente a nossa integral fica

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 6 ∫ 0 1 y 4 - 12 y + 12 y 2 - 4 y 3 3 d y

2 ∫ 0 1 4 y - 12 y 2 + 12 y 3 - 4 y 4 d y = 2 2 y 2 - 4 y 3 + 3 y 4 - 4 5 y 5 0 1

2 2 - 4 + 3 - 4 5 = 2 10 - 20 + 15 - 4 5

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 2 5

Resposta

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 2 5

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