Enunciado

Seja v : Ω ⊂ R 2 → R de classe C 2 no aberto Ω e sejam γ e K como no exercício anterior. Prove que se ∇ 2 v = 0 no interior de K e v γ t = 0 em a , b , então v x , y = 0 para todo x , y ∈ K . Suponha, ainda, que K seja um circulo.

(Sugestão. Utilize o item c do exercício anterior.)

Passo 1

Nesse problema iremos utilizar os resultado do exercício anterior, na qual já temos logo de inicio que

∮ v ⋅ d v d n → d s = ∫ ∫ K v ∇ 2 v + ∇ v 2 d x d y .

Partiremos disso e usaremos as hipóteses dadas no enunciado para tentar provar o que é pedido. Vai ser um pouco mais fácil do que parece, então vamos lá!

Passo 2

Partindo daquela equação mostrada no passo 1, que é solução do item c do exercício anterior, vamos ter que ao fazer nossas suposições ( ∇ 2 v = 0 e v γ t = 0 em a ≤ t ≤ b ), o termo do lado esquerdo da igualdade será igual a zero, pois quando integrarmos aquilo haverá termos de v aplicados em γ , que como vimos, é zero e do lado direito da igualdade vamos ter que o termo v ∇ 2 v = 0 , pois supomos exatamente isso. Assim, nossa equação fica

∫ ∫ K ∇ v 2 d x d y = 0

A única maneira de essa integral ser zero é se ∇ v ( x , y ) = 0 . Assim, segue que, como o interior de K é conexo por caminhos, deve haver algum valor c onde

v x , y = c

para todo x , y no interior de K . Mas como nosso v γ t = 0 em a , b , isso nos diz que a única forma de isso ser válido é se c = 0 , pois essa igualdade tem que ser respeitada e como não temos a forma de nossa função v , c precisa assumir esse valor para nossa função quando aplicada a γ t ser zero.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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