Enunciado

Use o Teorema do Divergente para calcular ∬ S F → ⋅ d S → , onde F → x , y , z = z 2 x   i → +   y 3 3 + t g z j → + x 2 z + y 2 k → e S   é a metade de cima da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 . (Sugestão: observe que S não é uma superfície fechada. Calcule primeiro as integrais sobre S 1 e S 2 , onde S 1 é o círculo x 2 + y 2 ≤ 1 , orientado para baixo, e S 2 = S ∪ S 1 . )

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Como temos uma superfície aberta, que é o caso de S 1 , vamos usar o lado esquerdo do Teorema da Divergência. Lembra que ele nos diz que:

∬ S F → ⋅ d S → = ∭ E ∇ ⋅ F → d V

Então, para S 1 , no plano x y temos um círculo de raio 1 , orientado para baixo. Então um vetor normal à essa superfície vai ser:

n → = - k →

Em z = 0 , o campo vetorial F →   é:

F → = ( 0 , y 3 3 + 0 ,   y 2 )

E o produto escalar entre F → e n → é:

F → ⋅ n → = - y 2

Como a região de integração temos um disco, podemos usar coordenadas polares:

x = r c o s θ y = r s e n θ

O produto vetorial fica: F → ⋅ n → = - y 2 = - r 2 s e n 2 θ

E os limites de integração: 0 ≤ r ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2 π . E o elemento de área é d A = r d r d θ

Agora é só colocar na integral!

∬ S F → ⋅ d S → = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 - r 2 s e n 2 θ r d r d θ = ∫ 0 2 π - 1 4 s e n 2 θ d θ = - 1 4 θ 2 - 1 4 s e n 2 θ 0 2 π = - π 4

Passo 2

Para S 2 , como é fechada, podemos usar a forma do lado direito do teorema lá do passo 1 . Agora a região de interesse é a metade da esfera, então os limites de integração vão ficar, em coordenadas esféricas:

0 ≤ ρ ≤ 1 0 ≤ ϕ ≤ π / 2 0 ≤ θ ≤ 2 π

E o diferencial de volume vai ser d V = ρ 2 s e n ϕ d ρ d ϕ d θ

Agora precisamos encontrar o divergente do campo vetorial.

O divergente do campo F → vai ser:

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x z 2 x   + ∂ ∂ y y 3 3 + t g z + ∂ ∂ z x 2 y = x 2 + y ² + z ² = ρ 2

Agora é só colocar na integral!

Passo 3

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 2 ∫ 0 1 ρ 4 s e n ϕ d ρ d ϕ d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 ρ 5 5 0 1 s e n ϕ d ϕ d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 1 5 s e n ϕ d ϕ d θ = ∫ 0 2 π - 1 5 c o s ϕ 0 π / 2 d θ = 1 5 ∫ 0 2 π d θ = 2 π 5

Passo 4

Agora temos a relação entre as superfícies:

S 2 = S + S 1

Mas a superfície que o problema pede é S :

S = S 2 - S 1

Daí o fluxo vai ser:

∬ S F → ⋅ d S → = ∬ S 2 F → ⋅ d S → - ∬ S 1 F → ⋅ d S →

E temos esses valores! Dos passos 1   e   3 temos:

∬ S F → ⋅ d S → = 2 π 5 - - π 4 = 8 π + 5 π 20 = 13 π 20  

Resposta

∬ S F → ⋅ d S → = 13 π 20

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