Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.9 - Ex. 17
Use o Teorema do Divergente para calcular , onde e a metade de cima da esfera . (Sugestão: observe que não é uma superfície fechada. Calcule primeiro as integrais sobre e , onde é o círculo , orientado para baixo, e )
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Como temos uma superfície aberta, que é o caso de , vamos usar o lado esquerdo do Teorema da Divergência. Lembra que ele nos diz que:
Então, para , no plano temos um círculo de raio , orientado para baixo. Então um vetor normal à essa superfície vai ser:
Em , o campo vetorial é:
E o produto escalar entre e é:
Como a região de integração temos um disco, podemos usar coordenadas polares:
O produto vetorial fica:
E os limites de integração: e . E o elemento de área é
Agora é só colocar na integral!
Passo 2
Para , como é fechada, podemos usar a forma do lado direito do teorema lá do passo . Agora a região de interesse é a metade da esfera, então os limites de integração vão ficar, em coordenadas esféricas:
E o diferencial de volume vai ser
Agora precisamos encontrar o divergente do campo vetorial.
O divergente do campo vai ser:
Agora é só colocar na integral!
Passo 3
Passo 4
Agora temos a relação entre as superfícies:
Mas a superfície que o problema pede é :
Daí o fluxo vai ser:
E temos esses valores! Dos passos temos: