Enunciado

Use a primeira identidade de Green (exercício 33 ) para demonstrar a segunda identidade de Green:

∬ ( f ∇ 2 g - g ∇ 2 f )   d A = ∮ ( f ∇ g - g ∇ f ) ⋅ n →   d s

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Da primeira identidade de Green temos:

∬ D f ∇ 2 g d A = ∮ C f ∇ g ⋅ n → d S - ∬ D ( ∇ g ⋅ ∇ f ) d A

Onde consideramos o campo vetorial F → = f ∇ g

Passo 2

Agora vamos considerar um outro campo vetorial do tipo G → = g ∇ f . Aplicando na primeira identidade temos:

∬ D g ∇ 2 f d A = ∮ C g ∇ f ⋅ n → d S - ∬ D ( ∇ f ⋅ ∇ g ) d A

Passo 3

Legal! O próximo passo é fazer a subtração das duas equações dos passos 1 e 2 :

∬ D f ∇ 2 g d A -   ∬ D g ∇ 2 f d A = ∮ C f ∇ g ⋅ n → d S - ∮ C g ∇ f ⋅ n → d S - ∬ D ( ∇ g ⋅ ∇ f ) d A + ∬ D ( ∇ f ⋅ ∇ g ) d A

Mas sabemos que no produto escalar entre dois vetores, a ordem não é importante, sendo assim o 3 º e 4 º termos do lado direito se cancelam!

Saca só:

∇ g ⋅ ∇ f = ∇ f ⋅ ∇ g

Então, olha só como fica:

∬ D f ∇ 2 g d A -   ∬ D g ∇ 2 f d A = ∮ C f ∇ g ⋅ n → d S - ∮ C g ∇ f ⋅ n → d S

E como podemos considerar as mesmas regiões D e C , podemos unir os integrandos:

∬ D [ f ∇ 2 g - g ∇ 2 f ] d A = ∮ C f ∇ g - g ∇ f ⋅ n → d S

Pronto, exatamente a propriedade que queríamos demonstrar =D

Resposta

∬ D [ f ∇ 2 g - g ∇ 2 f ] d A = ∮ C f ∇ g - g ∇ f ⋅ n → d S

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