Enunciado

2. Utilizando o teorema da seção e o campo vetorial

F =   - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2

prove que Ω = ℝ3 - {(0, 0, z) ∈ 3 | z ∈ ℝ} não é simplesmente conexo.

Passo 1

Antes de começarmos temos que saber que um conjunto simplesmente conexo segue essas regras

  1. D é aberto.
  2. D é conexo (isto é, dois pontos quaisquer de D podem ser ligados por uma curva contida em D).
  3. D é “sem buracos” (isto ´e, qualquer curva fechada de D delimita uma região inteiramente contida em D).

Passo 2

Como temos todo um eixo z retirado do dominio, caso tenhamos uma curva que esteja dentro do Plano XZ ou YZ, não poderemos unir pontos de quadrantes diferentes. Logo O conjunto não é simplesmente conexo.

Passo 3

Alem disso

F =   - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2

Não admite Função conservativa, embora tenha rot F =0. O que também implica que estamos num domínio que não é simplesmente conexo.

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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