Enunciado

Para quais valores de a , se houver algum, as séries nos Exercícios 41 e 42 convergem?

∑ n = 3 ∞ 1 n - 1 - 2 a n + 1

Passo 1

Olá galerinha, tudo bem com vocês?

Para a realizarmos o Teste da Integral, precisamos que a n seja uma sequência de termos positivos.

Suponha que a n = f ( n ) , onde f é uma função contínua, positiva e decrescente de x   para todo x ≥ N (sendo N um inteiro positivo). Então:

∑ n = 1 ∞ a n

  • A série converge, se ∫ 1 ∞ f ( x )   d x for convergente ( ∫ 1 ∞ f ( x )   d x = M );
  • A série diverge, se ∫ 1 ∞ f ( x )   d x for divergente ( ∫ 1 ∞ f ( x )   d x → ∞ ).

Então, primeiramente iremos considerar a = 1 / 2 , e como a série é positiva, contínua e decrescente para x ≥ 1 , podemos utilizar o teste da integral:

∫ 3 ∞ 1 x - 1 - 1 x + 1 d x = ∫ 3 ∞ 1 x - 1 d x - ∫ 3 ∞ 1 x + 1 d x

Para resolvermos esta integral, iremos considerar o seguinte:

u = x - 1

v = x + 1

Logo:

d u = d x

d v = d x

Substituindo os valores:

∫ d u u - ∫ d v v = ln ⁡ u - ln ⁡ v

= ln ⁡ x - 1 - ln ⁡ x + 1 1 ∞

= - ln ⁡ 3 - 1 3 + 1 = ln ⁡ 4 2 = 0,69

Então para a = 1 / 2 , a integral converge ( ∫ 1 ∞ f ( x )   d x = M ), logo a série é convergente.

Prontinho! Até mais pessoal!

Resposta

a = 1 / 2 .

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