Verifique que é exata e resolva.

cos(y) dx - x . sen(y) dy = 0

Passo 1

Vamos que vamos para mais uma letrinhaa!!

Para que a equação acima seja exata nós vamos chamar:

(d phi)/(d x) = cos y

(d phi)/(d y) = - x . sin y

Bom galerinha, a primeira condição já nos ideia bem razoável de qual função phi = phi ( x , y ) considerar, não é?

Vamos começar por ela:

d phi = cos y . d x

Quando nós integramos:

phi = x cos y

Ou melhor:

phi ( x , y ) = x cos y

Se já descobrimos a função podemos derivá-la em função de y e obter:

(d)/(d y) phi (x , y) = x . (d)/(d y) (cos y)

(d)/(d y) phi (x , y) = x . ( - sin y )

(d)/(d y) phi (x , y) = - x . sin y

O que bate com a nossa segunda condição, certo?

Portanto nós concluímos que a equação cos y d x - x . sin y d y = 0 é exata e suas condições são dadas implicitamente por x cos y = k , em que k é uma constante.

De boa, não é?

Resposta

phi ( x , y ) = x cos y

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