Enunciado

2. Verifique que

3 2 ln ⁡ 2 = 1 + 1 3 - 1 2 + 1 5 + 1 7 - 1 4 + 1 9 + 1 11 - 1 6 + …

Observe que a série que ocorre no 2 ° membro é uma reordenação da série

1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 + …

Sugestão:

ln ⁡ 2 = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - 1 6 + 1 7 - 1 8 + 1 9 - 1 10 + …

E

1 2 ln ⁡ 2 = 1 2 - 1 4 + 1 6 - 1 8 + 1 10 …

Somando membro a membro...

Passo 1

O maior mistério dessa questão é reconhecer que...

3 2 ln ⁡ 2 = ln ⁡ 2 + 1 2 ln ⁡ 2

Daí, após identifica isso, basta seguir o conselho do livro e somar termo a termo das séries:

ln ⁡ 2 = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - 1 6 + 1 7 - 1 8 + 1 9 - 1 10 + …

+

1 2 ln ⁡ 2 = 1 2 - 1 4 + 1 6 - 1 8 + 1 10 …                                                                                

=

3 2 ln ⁡ 2 = 1 + 1 2 - 1 2 + 1 3 - 1 4 - 1 4 + 1 5 + 1 6 - 1 6 + 1 7 - 1 8 - 1 8 + 1 10 - 1 10 …

Cancelando os termos que dá pra cancelar...

3 2 ln ⁡ 2 = 1 + 1 3 - 1 4 - 1 4 + 1 5 + 1 7 - 1 8 - 1 8 + …

Somando esses termos semelhantes...

3 2 ln ⁡ 2 = 1 + 1 3 - 2 4 + 1 5 + 1 7 - 2 8 + …

3 2 ln ⁡ 2 = 1 + 1 3 - 1 2 + 1 5 + 1 7 - 1 4 + …

Viu só! Então de fato é apena uma reorganização! Irado, neh?

Resposta

Questão de demonstração.

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