Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.8 - Ex. 14
Verifique que o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado e a superfície .
, é a parte do paraboloide que está acima do do plano , com orientação ascendente.
Passo 1
O problema pede para verificarmos o Teorema de Stokes para o campo e a superfície :
A superfície é suave e regular e é um campo bem comportado, de modo que o teorema é valido! Assim,
O que temos que fazer é calcular as duas integrais e ver que elas são iguais!
Passo 2
Vamos calcular primeiro a integral de linha sobre a curva :
Portanto,
Assim,
Logo,
Portanto
Portanto
A integral do segundo termo será nula pois é uma função trigonométrica periódica integrada em um período completo. Já a primeira:
Passo 3
Agora vamos fazer a integral de superfície. O primeiro passo é parametrizar a superfície:
Aqui,
Desta forma,
Logo,
Portanto,
Assim,
*Coloquei o sial de menos para seguir a orientação pedida no enunciado!
Portanto,
Logo,
Passo 4
Agora vamos achar o rotacional de :
Assim,
Portanto,
Logo,
Fazendo a integral em , o termo do meio se anula:
Mas sabemos que
Logo,
Portanto,
Assim,
Note que obtivemos o mesmo resultado pelas duas integrais!
Resposta
Verificação.
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