Exercícios de Teorema de Stokes - Lista de Exercícios Resolvida
Questão 1
Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral numa integral de linha e a calcule, sabendo que , é parametrizada por , com , sendo a normal apontando para cima.
Ver solução completaQuestão 3
Use a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular a circulação do campo ao redor da curva no sentido indicado.
A fronteira do triângulo cortado a partir do plano pelo primeiro octante, no sentido anti-horário quando vista de cima.
Ver solução completaQuestão 4
Seja a curva orientada parametrizada por:
Seja o campo vetorial:
Calcule:
Ver solução completaQuestão 5
Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva .
onde é a fronteirado triângulo equilátero situado no plano de vértices e
Ver solução completaQuestão 6
Usando o teorema de Stokes, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
quando uma partícula se move sob sua influência ao longo da curva de interseção das superfícies e , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Ver solução completaQuestão 7
Considere a superfície hemisférica (orientada com vetores normais unitários para cima) e o campo . Seja
Onde é o bordo de , orientado no sentido anti-horário (vista de cima).
- Usando o Teorema de Stokes, calcule (dica: escolha uma superfície que facilite as contas).
- Confira o resultado do item anterior calculando diretamente, ou seja, pela definição de integral de linha.
(obs: )
Ver solução completaQuestão 8
Calcule a integral de superfície , em que
E é a parte do plano dentro do cilindro , com orientação para cima.
Ver solução completaQuestão 9
Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha , em que
Em que é o limite da parte do plano no primeiro octante.
Ver solução completaQuestão 10
Sejam uma região sólida simples com fronteira e um campo vetorial de classe tal que é uma região aberta contendo . Mostre que
Isto é, o fluxo do rotacional de através de é zero.
Ver solução completaQuestão 11
Sejam a curva parametrizada por e um campo vetorial em .
Utilize o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo de .
Ver solução completaQuestão 12
Considere o campo vetorial definido por
Determine o valor da constante para qual
ao longo de qualquer curva fechada no plano .
Ver solução completaQuestão 13
Opção 1: Calcule a integral de linha
onde é a curva parametrizada por e .
Opção 2: Calcule a integral de linha
onde é a curva parametrizada por e .
Ver solução completaQuestão 14
Considere um vidro cilíndrico quebrado sobre o plano de maneira que sua base se encontra no círculo com a curva de classe por partes e orientada no sentido anti-horário como na Figura . Dado o campo vetorial
Calcule .
Questão 15
Seja
1. Calcule o campo gradiente
2. Seja a parte da esfera que satisfaz , orientada de forma que seja seu vetor normal no ponto . Denote o bordo de orientado positivamente. Esboce a superfície e a curva com as orientações indicadas.
3. Defina o campo vetorial
Onde foi calculado no item . Dada a supefície do item , calcule o fluxo do campo através de .
Ver solução completaQuestão 16
35) Utilizando o teorema de Stokes, transforme
Em uma integral de linha e calcule:
b) , , e , sendo a normal apontando para cima.
Ver solução completaQuestão 17
Seja a curva orientada parametrizada por:
Seja o campo vetorial:
Calcule:
Ver solução completaQuestão 18
Calcule , onde e é a interseção do cilindro com o plano orientada no sentido anti-horário quando vista de cima
Ver solução completaQuestão 19
23) Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva em:
a)
Onde é a interseção da esfera com o plano .
Ver solução completaQuestão 20
22) Verifique o teorema de Stokes, calculando as duas integrais do enunciado para...
b) , o hemisfério , orientada com normal unitária exterior a .
Ver solução completaQuestão 21
22) Verifique o teorema de Stokes, calculando as duas integrais do enunciado para...
a) , o paraboloide , e apontando para fora de .
Ver solução completaQuestão 22
23) Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva em:
b)
Onde é a interseção do plano com o cilindro .
Ver solução completaQuestão 23
23) Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva em:
c)
Onde é a interseção do cilindro com o cone .
Ver solução completaQuestão 24
23) Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva em:
d)
Onde é a fronteira do triângulo situado no plano , de vértices e .
Ver solução completaQuestão 25
30) Calcule
Onde e é a intersecção da superfície com , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Ver solução completaQuestão 26
37) Calcule
Onde e é a curva obtida como interseção da superfície , , com o plano , orientada no sentido anti-horário quando vista do eixo positivo.
Ver solução completaQuestão 27
35) Utilizando o teorema de Stokes, transforme
Em uma integral de linha e calcule:
c) , e , sendo tal que .
Ver solução completaQuestão 28
Sejam e superfícies regulares com equações implícitas e , respectivamente, e seja a curva obtida na intersecção de e , orientada de modo que suas projeções no plano é percorrida no sentido anti-horário.
(a) Esboce as curvas obtidas na intersecção de e com o plano
(b) Mostre que a curva está contida num plano e encontre a equação implícita para o plano que a contém.
(c) Mostre que a curva está contida num clilíndro cujo eixo de rotação é paralelo ao eixo e encontre a equação implícita.
(d) Usando o teorema de Stokes, descreva uma superfície apropriada que tenha a curva como fronteira e calcule o trabalho do campo
Ver solução completaQuestão 29
Use o Teorema de Stokes para calcular
onde e é o femisfério com orientação ascendente.
Ver solução completaQuestão 30
Seja a parte do paraboloide que se encontra dentro do cilindro , orientado para cima.
a) Esboçar a superfície .
b) Considere o campo vetorial , usando o Teorema de Stokes, calcular
Ver solução completaQuestão 31
Questão 14) Seja a calota esférica dada pela equação , onde . Sobre fixe a orientação tal que . Calcule
Onde
Ver solução completaQuestão 32
24) Calcule
Sendo
E a interseção do paraboloide com o cilindro , orientada no sentido anti-horário se projetada no plano .
Ver solução completaQuestão 33
38) Calcule
Onde e é a curva obtida como interseção da superfície , com o plano , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Ver solução completaQuestão 34
Considere o campo de vetores Use o Teorema de Stokes para calcular
onde C é a fronteira da parte do paraboloide que está no primeiuro octante e orientada no sentido anti-horário quando o bordo é visto de cima.
Ver solução completaQuestão 35
Use o teorema de Stokes para calcular o trabalho realizado pelo campo de força
Onde é a superfície orientável, com fronteira orientada positivamente, definida pela parametrização
Com o triângulo de vértices e .
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