1.

Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral ∬ S   r o t F .   n →   d s numa integral de linha e a calcule, sabendo que F x , y , z = ( 0,0 , y ) , S é parametrizada por φ u , v = ( u , v , u 2 + v 2 ) , com u 2 + v 2 ≤ 1 , sendo n → a normal apontando para cima.

Resolução
2.

Calcule ∬ S r o t F . n d S , onde F x ,   y ,   z = ( 2 x y ,   0 ,   - x z ) e S é a superfície do elipsoide

x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1

Resolução
3.

Use a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular a circulação do campo F   ao redor da curva C no sentido indicado.

F : y i + x z j + x 2 k

C : A fronteira do triângulo cortado a partir do plano x + y + z = 1 pelo primeiro octante, no sentido anti-horário quando vista de cima.

Resolução
4.

Seja C a curva orientada parametrizada por:

r → t = cos ⁡ t , s e n t , 8 - cos 2 ⁡ t - s e n t

t ∈ 0,2 π

Seja o campo vetorial:

F → = z 2 - y 2 , - 2 x y 2 , e z cos ⁡ z

Calcule:

∫ C   F ∙ d r

Resolução
5.

Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva C .

∮ C   8 x - 2 y d x + y d y + 3 z d z = 4 3

onde C é a fronteirado triângulo equilátero situado no plano - 3 x + 3 z + 6 = 0 de vértices P = 2,2 , 0 ,   Q = ( 2,6 , 0 ) e R = ( 2 + 3 , 4,3 )

Resolução
6.

Usando o teorema de Stokes, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças

F → = z - y ,   - x - z ,   - x - y

quando uma partícula se move sob sua influência ao longo da curva de interseção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 4 e z = y , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Resolução
7.

Use o teorema de Stokes para calcular a integral

∬ S r o t   F ∙ n → d S

Em que F x , y , z = - y i + x j + x 2 k , e S é o cilindro x 2 + y 2 = a 2 , 0 ≤ z ≤ 2 , junto com o seu topo x 2 + y 2 ≤ a 2 , z = 2

Resolução
8.

Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha

∮ C F ∙ d r

Em que F x , y , z = x 2 - y i + 4 z j + x 2 k e C é a curva da intersecção do plano z = 2 com o cone z = x 2 + y 2 , orientada no sentido anti-horário quando visto por cima.

Resolução
9.

Seja F = ( y , x 2 z , x y ) um campo de vetores e C a circunferência contida no plano y = 1 com centro em ( 0,1 , 2 ) e de raio 1 .

  1. Parametrize a curva C .
  2. Calcule o rotacional de F .
  3. Calcule a integral de linha ∫ C   F . d r .
Resolução
10.

Sejam E ∈ R 3 uma região sólida simples com fronteira S = ∂ E e um campo vetorial F : D o m F ⊂ R 3 → R 3 de classe C 1 tal que D o m ( F ) é uma região aberta contendo E . Mostre que

∬ S   ∇ × F . d S = 0

Isto é, o fluxo do rotacional de F através de S é zero.

Resolução
11.

Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha ∫ C   F . d r , em que

F x , y , z = i + x + y z j + x y + z k

Em que C é o limite da parte do plano 3 x + 2 y + z = 1 no primeiro octante.

Resolução
12.

Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha ∫ C   F . d r , em que

F x , y , z = - y 2   i + x   j + z 2   k

Em que C é a curva de intersecção do plano x + y + z = 5 com o cilindro x 2 + y 2 = 1 .

Resolução
13.

Seja C a curva orientada parametrizada por:

r → t = cos ⁡ t , sen ⁡ ( t ) , 8 - cos 2 ⁡ t - sen ⁡ ( t )

t ∈ 0,2 π

Seja o campo vetorial:

F → = z 2 - y 2 , - 2 x y 2 , e z cos ⁡ z

Calcule:

∫ C   F ∙ d r

Resolução
14.

Sejam C a curva parametrizada por γ t = cos 2 ⁡ t ,   2 cos ⁡ t sen ⁡ t , sen 2 ⁡ t ,     0 ≤ t ≤ π e F x , y , z = ( z , x , y ) um campo vetorial em R 3 .

Utilize o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha do campo vetorial F ao longo de C .

Resolução
15.

Considere o campo vetorial definido por

F   → = y z , x z , x y - z , x , 0

Determine o valor da constante a ∈ R para qual

∫ C F   → . d r → = 0

ao longo de qualquer curva C fechada no plano a y + z = 10 .

Resolução
16.

Opção 1: Calcule a integral de linha

∫ C F   → . d r → ,

onde C é a curva parametrizada por σ t = 2 cos ⁡ t , sen ⁡ t ,   e sen 2 ⁡ t , 0 ≤ t ≤ 2 π e F   → x , y , z = y , x , ln ⁡ z 2 + 1 .

Opção 2: Calcule a integral de linha

∫ C F   → . d r → ,

onde C é a curva parametrizada por σ t = 2 cos ⁡ t , sen ⁡ t ,   e sen 2 ⁡ t , 0 ≤ t ≤ 2 π e F   → x , y , z = - y + x 5 , x , ln ⁡ z 2 + 1 .

Resolução
17.

Seja f x , y , z = ( x y z ) e x y

1. Calcule o campo gradiente F → = ∇ → f

2. Seja S a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 que satisfaz x ≥ 1 / 2 , orientada de forma que i → seja seu vetor normal no ponto 1,0 , 0 . Denote C o bordo de S orientado positivamente. Esboce a superfície S e a curva C com as orientações indicadas.

3. Defina o campo vetorial

G → = F → + z - y i → + y   k →

Onde F → foi calculado no item 1 . Dada a supefície S do item 2 , calcule o fluxo do campo r o t ( G → ) através de S .

Resolução
18.

Calcule ∫ C F → . d r → , onde F → x , y , z = z - x + sen ⁡ x , z - x + cos ⁡ y , x - y + e z e C é a interseção do cilindro x 2 + y 2 = a 2 com o plano x a + z b = 1 ,   a > 0 ,   b > 0 , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima

Resolução
19.

22) Verifique o teorema de Stokes, calculando as duas integrais do enunciado para...

a) F → x ,   y ,   z = y ,   - x ,   0 , S o paraboloide z = x 2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 1 e n → apontando para fora de S .

Resolução
20.

22) Verifique o teorema de Stokes, calculando as duas integrais do enunciado para...

b) F → x ,   y ,   z = y i → + z j → + x k → , S o hemisfério z = a 2 - x 2 - y 2 ,   a > 0 , orientada com n → normal unitária exterior a S .

Resolução
21.

23) Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva C em:

a)

∮ C   3 y + z d x + x + 4 y d y + 2 x + y d z = - 3 2 π 4

Onde C é a interseção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 com o plano y + z = 1 .

Resolução
22.

23) Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva C em:

b)

∮ C   y + z d x + z + 2 x d y + x + y d z = - π

Onde C é a interseção do plano y = z com o cilindro x 2 + y 2 = 2 y .

Resolução
23.

23) Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva C em:

c)

∮ C   2 x y d x + 1 - y z + x 2 + x d y + x 2 2 + e z d z = π

Onde C é a interseção do cilindro x 2 + y 2 = 1 com o cone z = x 2 + y - 1 2 .

Resolução
24.

23) Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva C em:

d)

∮ C   8 x - 2 y d x + y d y + 3 z   d z = - 4

Onde C é a fronteira do triângulo situado no plano x + z = 2 , de vértices 2 ,   0 ,   0 ,   2 ,   2 ,   0 e 0 ,   0 ,   2 .

Resolução
25.

25) Calcule

∮ C   F → ⋅ d r →

Sendo

F → x ,   y ,   z = y z + z ,   x z + e - y ,   x y + e - z

E C a curva intersecção das superfícies x 2 + y 2 = 4 e z = y + 3 , orientada no sentido anti-horário quando projetada no plano x y .

Resolução
26.

29) Calcule

∮ C   e - x 3 / 3 - y z d x + e - y 3 / 3 + x z + 2 x d y + e z 3 / 3 + 5 d z

Onde C é dada por r → t = cos ⁡ t , sin ⁡ t ,   2 , t ∈ 0 ,   2 π .

Resolução
27.

30) Calcule

∫ C   F → ⋅ d r →

Onde F → x ,   y ,   z = y z 2 i → + 2 x z j → + cos ⁡ x y z k → e C é a intersecção da superfície z = x 2 + y 2 com z = 10 - x 2 - y 2 , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Resolução
28.

31) Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças F → x ,   y ,   z = 2 x + z 2 i → + 2 y + x 2 j → + 2 z + y 2 k → quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 que está no primeiro octante, no sentido anti-horário quando vista de cima.

Resolução
29.

32) Calcule

∫ C   z - y d x + ln ⁡ 1 + y 2 d y + ln ⁡ 1 + z 2 + y d z

Sendo C dada por r → t = 4 cos ⁡ t ,   4 sin ⁡ t ,   4 - 4 cos ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π .

Resolução
30.

34) Calcule

∫ C   F → ⋅ d r →

Sendo F → um campo em R 3 dado por

F → = - y ,   x ,   f x ,   y ,   z

Onde f : R 3 → R é de classe C 1 , tal que ∇ f ⋅ i → = - 3 em R 3 e C é a intersecção da superfície x 2 + y 2 = 1 com o plano z - y = 2 , com uma orientação tal que quando projetada no plano z = 0 produz um percurso no sentido horário.

Resolução
31.

35) Utilizando o teorema de Stokes, transforme

∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S

Em uma integral de linha e calcule:

a) F → x ,   y ,   z = y k → , S :     r → u ,   v = u ,   v ,   u 2 + v 2 , com u 2 + v 2 ≤ 1 , sendo n → a normal apontando para cima.

Resolução
32.

35) Utilizando o teorema de Stokes, transforme

∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S

Em uma integral de linha e calcule:

c) F → x ,   y ,   z = x j → + x y k → , S : x 2 + y 2 + z 2 4 = 1   e z ≤ 1 , sendo n → tal que n → 0 ,   0 ,   - 2 = - k → .

Resolução
33.

35) Utilizando o teorema de Stokes, transforme

∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S

Em uma integral de linha e calcule:

a) F → x ,   y ,   z = x 2 y i → + 2 y 3 z j → + 3 z k → , S :     r → r ,   θ = r cos ⁡ θ i → + r sin ⁡ θ j → + r k → , com 0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2 π , sendo n → a normal exterior.

Resolução
34.

37) Calcule

∫ C   F → ⋅ d r →

Onde F → x ,   y ,   z = z 2 + e x 2 ,   x z + e y ,   2 x y + z e z e C é a curva obtida como interseção da superfície z = 1 - y 2 , z ≥ 0 , com o plano x + z = 2 , orientada no sentido anti-horário quando vista do eixo x positivo.

Resolução
35.

38) Calcule

∫ C   F → ⋅ d r →

Onde F → x ,   y ,   z = z ,   z 2 + y cos ⁡ y ,   2 y z + z e - z e C é a curva obtida como interseção da superfície z = x 2 , com o plano y + z = 4 , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Resolução
36.

35) Utilizando o teorema de Stokes, transforme

∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S

Em uma integral de linha e calcule:

b) F → x ,   y ,   z = y i → , S : x 2 + y 2 + z 2 = 2 , x 2 + y 2 ≤ 1 e z ≥ 0 , sendo n → a normal apontando para cima.

Resolução
37.

Calcule o fluxo do rotacional do campo F → x , y , z = - y , x , z através da superfície S : z = e x 2 + y 2 - 1 - 1   ,   x 2 + y 2 ≤ 1 , com a normal apontando para cima.

Resolução
38.

Seja C a curva intersecção do cilindro de equação x 2 + y 2 = 1 com o paraboloide hiperbólico z = 2 x y

(a) Parametrize C positivamente

(b) Calcule o rotacional do campo F → x , y , z = y + sen ⁡ x i → + z 2 + cos ⁡ y j → + x 3 k → .

(c) Calcule

∫ C y + sen ⁡ x d x + z 2 + cos ⁡ y d y + x 3 d z

Resolução
39.

Considere as superfícies

S : z = x - 1 2 + y 2 z ≤ - 2 x + 2                                                                                     S - : z = - 2 x + 2 x - 1 2 + y 2 ≤ z

E seja F : R 3 → R 2 o campo de vetores dado por F x ,   y ,   z = 2 x - y + 2 z ,   e 2 x + z - 2 ,   e z 2 + y .

  1. Faça em um mesmo desenho um esboço das superfícies S e S - .
  2. Calcule a área da superfície S - .
  3. Calcule o rotacional do campo F .
  4. Seja γ o bordo de S , orientado de tal forma que sua projeção no plano x y esteja orientada no sentido anti-horário. Calcule ∫ γ   F d s .

Dica: use o Teorema de Stokes, trocando a superfície S por S - . A integral vai estar relacionada com o item 2.b

Resolução
40.

Seja S ⊂ R 3 a superfície regular determinada pelas igualdades e desigualdades

x 2 + y 2 = 2 - z 2 ,                   x 2 + y 2 ≤ 1 ,                 z ≤ 0

e orientada pelo vetor normal unitário continuo cuja coordenada z é negativa, e seja F →