Utilizando o Teorema de Stokes, transforme a integral numa integral de linha e a calcule, sabendo que , é parametrizada por , com , sendo a normal apontando para cima.
Calcule , onde e é a superfície do elipsoide
Use a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular a circulação do campo ao redor da curva no sentido indicado.
A fronteira do triângulo cortado a partir do plano pelo primeiro octante, no sentido anti-horário quando vista de cima.
Seja a curva orientada parametrizada por:
Seja o campo vetorial:
Calcule:
Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva .
onde é a fronteirado triângulo equilátero situado no plano de vértices e
Usando o teorema de Stokes, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
quando uma partícula se move sob sua influência ao longo da curva de interseção das superfícies e , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Use o teorema de Stokes para calcular a integral
Em que , e é o cilindro , , junto com o seu topo ,
Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha
Em que e é a curva da intersecção do plano com o cone , orientada no sentido anti-horário quando visto por cima.
Seja um campo de vetores e a circunferência contida no plano com centro em e de raio .
Sejam uma região sólida simples com fronteira e um campo vetorial de classe tal que é uma região aberta contendo . Mostre que
Isto é, o fluxo do rotacional de através de é zero.
Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha , em que
Em que é o limite da parte do plano no primeiro octante.
Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha , em que
Em que é a curva de intersecção do plano com o cilindro .
Seja a curva orientada parametrizada por:
Seja o campo vetorial:
Calcule:
Sejam a curva parametrizada por e um campo vetorial em .
Utilize o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo de .
Considere o campo vetorial definido por
Determine o valor da constante para qual
ao longo de qualquer curva fechada no plano .
Opção 1: Calcule a integral de linha
onde é a curva parametrizada por e .
Opção 2: Calcule a integral de linha
onde é a curva parametrizada por e .
Seja
1. Calcule o campo gradiente
2. Seja a parte da esfera que satisfaz , orientada de forma que seja seu vetor normal no ponto . Denote o bordo de orientado positivamente. Esboce a superfície e a curva com as orientações indicadas.
3. Defina o campo vetorial
Onde foi calculado no item . Dada a supefície do item , calcule o fluxo do campo através de .
Calcule , onde e é a interseção do cilindro com o plano orientada no sentido anti-horário quando vista de cima
22) Verifique o teorema de Stokes, calculando as duas integrais do enunciado para...
a) , o paraboloide , e apontando para fora de .
22) Verifique o teorema de Stokes, calculando as duas integrais do enunciado para...
b) , o hemisfério , orientada com normal unitária exterior a .
23) Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva em:
a)
Onde é a interseção da esfera com o plano .
23) Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva em:
b)
Onde é a interseção do plano com o cilindro .
23) Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva em:
c)
Onde é a interseção do cilindro com o cone .
23) Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva em:
d)
Onde é a fronteira do triângulo situado no plano , de vértices e .
25) Calcule
Sendo
E a curva intersecção das superfícies e , orientada no sentido anti-horário quando projetada no plano .
29) Calcule
Onde é dada por , .
30) Calcule
Onde e é a intersecção da superfície com , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
31) Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da esfera que está no primeiro octante, no sentido anti-horário quando vista de cima.
32) Calcule
Sendo dada por .
34) Calcule
Sendo um campo em dado por
Onde é de classe , tal que em e é a intersecção da superfície com o plano , com uma orientação tal que quando projetada no plano produz um percurso no sentido horário.
35) Utilizando o teorema de Stokes, transforme
Em uma integral de linha e calcule:
a) , , com , sendo a normal apontando para cima.
35) Utilizando o teorema de Stokes, transforme
Em uma integral de linha e calcule:
c) , e , sendo tal que .
35) Utilizando o teorema de Stokes, transforme
Em uma integral de linha e calcule:
a) , , com , , sendo a normal exterior.
37) Calcule
Onde e é a curva obtida como interseção da superfície , , com o plano , orientada no sentido anti-horário quando vista do eixo positivo.
38) Calcule
Onde e é a curva obtida como interseção da superfície , com o plano , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
35) Utilizando o teorema de Stokes, transforme
Em uma integral de linha e calcule:
b) , , e , sendo a normal apontando para cima.
Calcule o fluxo do rotacional do campo através da superfície , com a normal apontando para cima.
Seja a curva intersecção do cilindro de equação com o paraboloide hiperbólico
(a) Parametrize positivamente
(b) Calcule o rotacional do campo .
(c) Calcule
Considere as superfícies
E seja o campo de vetores dado por
Dica: use o Teorema de Stokes, trocando a superfície S por . A integral vai estar relacionada com o item 2.b
Seja a superfície regular determinada pelas igualdades e desigualdades
e orientada pelo vetor normal unitário continuo cuja coordenada é negativa, e seja