Enunciado

Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado F → e a superfície S .

F → = y 2 i → + x j → + z 2 k → , S é a parte do paraboloide z = x 2 + y 2 que está acima do plano z = 1 , orientado para cima.

Passo 1

Oi galera, tudo bem? A primeira coisa aqui a se fazer é determinar a fronteira. Como é um círculo:

x 2 + y 2 = 1

Vou preferir usar a forma do teorema que diz ∫ C F → ⋅ d r → . Uma parametrização possível é:

r → t = c o s t i → + s e n t j → + k →

E o campo em função dessa nova parametrização fica:

F → x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) = y 2 i → + x j → + z 2 k → = s e n 2 t i → + c o s t j → +   k →

Passo 2

E o vetor d r → ? Ele é d   r → = r → ' ( t ) d t , então remos que calcular r → ' ( t ) :

r → t = c o s t i → + s e n t j → + k →

r → ' t = - s e n t i → + c o s t j → + 0 k →

E o produto escalar entre F → t ⋅ r → ' ( t ) é:

s e n 2 t , c o s t , 1   ⋅ - s e n t ,   c o s t ,   0 = - s e n 3 t + cos 2 ⁡ t

Com 0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 3

Legal! O próximo passo é colocar na integral!

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ 0 2 π - s e n 3 t + cos 2 ⁡ t   d t + ∫ 0 2 π + cos 2 ⁡ t   d t

Usando as relações trigonométricas:

s e n 2 t = 1 - cos 2 ⁡ t

cos 2 ⁡ t = 1 2 + 1 2 c o s ⁡ ( 2 t )

Substituindo teremos as seguintes integrais:

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ 0 2 π 1 2 d t + ∫ 0 2 π 1 2 c o s ⁡ ( 2 t ) d t - ∫ 0 2 π s e n ⁡ ( t ) d t + ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t ⁡ s e n t d t

As integrais que contém as funções seno e cosseno, por estarem integradas em um período completo, vão ser nulas. Assim só vai restar a primeira integral do lado direito da equação.

∫ C F → ⋅ d r → = ∫ 0 2 π 1 2 d t = 1 2 . 2 π = π

Pronto! Agora vamos comparar com o outro lado do Teorema de Stokes.

Passo 4

Oi galera, tudo bem? A curva de fronteira é um círculo de raio 1 .

Assim z = g x , y = x 2 + y 2 .

E o vetor normal a essa superfície vai ser n → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1 :

n → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1 = ( - 2 x , - 2 y , 1 )

Legal! O próximo passo é determinar a região de integração. A projeção no plano x y é um círculo de raio 1 . Em coordenadas polares temos x = r c o s θ e   y = r s e n ( θ ) e os limites vão ser:

0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ θ ≤ 2 π

E o elemento de área vai ser: d A = r d r d θ

Passo 5

Legal! O próximo passo é determinar o rotacional de F → :

∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z y ² x z 2 = i → ∂ ∂ y ( z 2 ) - ∂ ∂ z ( x ) + j → ∂ ∂ z ( y ² ) - ∂ ∂ x ( z ² ) + k → ∂ ∂ x ( x ) - ∂ ∂ y ( y ² )

∇ × F → = 0,0 , 1 - 2 y

O produto escalar entre ∇ × F → e n → fica:

∇ × F → ⋅ n → = 0,0 , 1 - 2 y ⋅ - 2 x , - 2 y , 1 = 1 - 2 y = 1 - 2 r s e n θ

Passo 6

Agora é colocar tudo na integral:

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ( 1 - 2 r s e n θ ) r d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r d r d θ + ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r 2 s e n θ d r d θ = ∫ 0 2 π r 2 2 0 1 d θ + ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 r 3 3 0 1 s e n θ d r d θ

∬ S c u r l   F → ⋅ d S = ∫ 0 2 π 1 2 d θ + 2 3 ∫ 0 2 π s e n θ d θ = 1 2 . 2 π + 0 = π

Agora comparando os resultados dos passos 3 e 6 vemos que

∫ C F → ⋅ d r → = ∬ S c u r l   F → ⋅ d S = π

Resposta

∫ C F → ⋅ d r → = ∬ S c u r l   F → ⋅ d S = π

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Seja S a parte do gráfico z = 16 - x 2 - y 2 ,z ≥ 0 com normal exterior. Determinar ∬ S r o tg → ⋅ n → d S , sendo g → = 2 y , y + z , z .
Calcular ∬ S r o tg → ⋅ n → d S , sendo g → = ( x y 2 , x , z 3 ) e S qualquer superfície suave delimitada pela curva r → t = 2 cos ⁡ t ,3 s e nt , 1 ,0 ≤ t ≤ 2 π , com a normal apontada para cima