Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.8 - Ex. 13
Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado e a superfície .
, é a parte do paraboloide que está acima do plano , orientado para cima.
Passo 1
Oi galera, tudo bem? A primeira coisa aqui a se fazer é determinar a fronteira. Como é um círculo:
Vou preferir usar a forma do teorema que diz . Uma parametrização possível é:
E o campo em função dessa nova parametrização fica:
Passo 2
E o vetor ? Ele é , então remos que calcular :
E o produto escalar entre é:
Com .
Passo 3
Legal! O próximo passo é colocar na integral!
Usando as relações trigonométricas:
Substituindo teremos as seguintes integrais:
As integrais que contém as funções seno e cosseno, por estarem integradas em um período completo, vão ser nulas. Assim só vai restar a primeira integral do lado direito da equação.
Pronto! Agora vamos comparar com o outro lado do Teorema de Stokes.
Passo 4
Oi galera, tudo bem? A curva de fronteira é um círculo de raio .
Assim .
E o vetor normal a essa superfície vai ser :
Legal! O próximo passo é determinar a região de integração. A projeção no plano é um círculo de raio . Em coordenadas polares temos e os limites vão ser:
E o elemento de área vai ser:
Passo 5
Legal! O próximo passo é determinar o rotacional de :
O produto escalar entre e fica:
Passo 6
Agora é colocar tudo na integral:
Agora comparando os resultados dos passos e vemos que