Exercícios Resolvidos de Calores Específicos

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Enunciado

0,05   k g de uma substância contida em um tanque rígido é colocada em contato com uma fonte térmica de fluxo 10   J / s . O gráfico do aquecimento em função do tempo é apresentado. Determine o calor específico a volume constante da substância. Suponha que não exista variações de energias cinética e potencial da substância.

Passo 1

Sabemos que o calor específico a volume constante c v é a derivada parcial da energia interna específica u em relação à temperatura T , mantendo o volume específico v constante. Ou seja, para calcular o valor de c v precisamos saber como u varia em função de T , enquanto v permanece constante.

c v = ∂ u ∂ T v

Mas em que parte do enunciado u em função de T é informado?

A forma que u varia com T é dada indiretamente pelo enunciado.

Mas antes, para entender como essa informação está escondida no texto do problema, precisamos entender todos os dados que o enunciado mostrou pra gente. Por exemplo, o que é o fluxo de 10   J / s da fonte térmica?

Ele é a quantidade de calor que a substância recebe a cada segundo! Logo, para saber quanto a substância ganha de calor Q depois de ficar um tempo t em contato com a fonte, devemos fazer regra de três! Nós vamos usar o símbolo Q ˙ para representar essa variável em uma fórmula.

Q ˙ → 1   s Q → t ⟹ Q = Q ˙ ⋅ t

onde t é o tempo em que o tanque está em contato com a fonte térmica. Ele está em segundos s .

O problema diz que:

Q ˙ = 10   J s

Mas qual a conexão de Q com a variação de energia interna específica u ?

Descobriremos isso no próximo passo!

Passo 2

Essas duas variáveis se conectam através da primeira lei da termodinâmica!

Q - W = Δ E C + Δ E P G + m ⋅ Δ u

onde:

  • Δ E C é a variação de energia cinética da substância. Ela vale zero segundo o enunciado;
  • Δ E P G é a variação de energia potencial da substância. Ela vale zero segundo o enunciado;
  • m é a massa da substância. Ela vale 0,05   k g segundo o enunciado.
  • W é o trabalho realizado pela substância;
  • Δ u é a variação de energia interna específica antes e depois do aquecimento. Ela faz parte da incógnita do problema.

Para descobrirmos Δ u , precisamos saber calcular o trabalho W . No entanto, o seu valor é dito indiretamente pelo enunciado!

Como o texto não fala nada sobre uma realização trabalho de eixo durante o processo de aquecimento, essa possibilidade é descartada.

Além disso, o texto fala que a substância está contida em um tanque rígido. Isso significa que o volume da substância permanece o mesmo durante todo o aquecimento! Ou seja, não existe movimento de fronteira nem trabalho de movimento de fronteira! Por conta de tudo isso, o trabalho W vale:

W = 0

Depois de todas essas observações, precisamos reorganizar a primeira lei para encontara Δ u .

Q - W = Δ E C + Δ E P G + m ⋅ Δ u

Q = m ⋅ Δ u

Q ˙ ⋅ t = m ⋅ Δ u

Δ u = Q ˙ ⋅ t m

Já descobrimos uma fórmula de Δ u em função do tempo t , mas, para calcular c v , precisamos de uma fórmula de Δ u em função da variação de temperatura T . Como podemos chegar onde queremos?

Isso será mostrado mais pra frente. Antes, temos que ter certeza que a fórmula de conseguimos mostra a variação de u para volume específico constante.

Passo 3

Para saber se as substância está ganhando energia, mas mantendo seu volume específico constante, temos que descobrir outra informação que está escondida no texto da questão!

A questão nos diz que a substância está contida em um tanque rígido. Isso significa que o seu volume V não varia conforme ela é aquecida! Além disso, a massa ( m ) da substância também não varia durante o aquecimento.

V = c o n s t a n t e

m = c o n s t a n t e

O volume específico é igual ao volume dividido pela massa. Como os dois são constantes, o volume específico também é constante no aquecimento do problema!

v = V m = c o n s t a n t e

Isso mostra que a informação presente no gráfico pode ser usada para calcular os c v ' s , porque v é constante durante o aumento de u !

Passo 4

Para achar Δ u em função de T , precisamos descobrir uma fórmula de t em função de T e depois substituir na fórmula de Δ u !

Isso é mostrado no gráfico. Através dele, vemos que t em função de T é uma reta. Logo, podemos descobrir uma fórmula para essa reta através de dois pontos. O primeiro ponto pode ser o início do aquecimento t = 0   s e o segundo ponto pode ser no tempo de quatro minutos.

A inclinação da reta é constante, logo:

Δ T Δ t = T 2 - T 1 t 2 - t 1 = T - T 1 t - 0       ⟹       T = T 2 - T 1 t 2 - t 1 ⋅ t + T 1

onde:

T 1 = 20   ° C

T 2 = 50   ° C

t 1 = 0   s

t 2 = 4 ⋅ 60       ⟹       t 2 = 240   s

Reorgazinando a fórmula para t , encontramos:

t = T - T 1 ⋅ t 2 - t 1 T 2 - T 1

Substituindo essa fórmula na equação de Δ u , achamos:

Δ u = Q ˙ m ⋅ T - T 1 ⋅ t 2 - t 1 T 2 - T 1       ⟹       Δ u = Q ˙ m ⋅ t 2 - t 1 T 2 - T 1 ⋅ T - Q ˙ m ⋅ t 2 - t 1 T 2 - T 1 ⋅ T 1

Mas a variação da energia interna específica Δ u também pode ser calculada como a diferença entre a energia interna específica durante o aquecimento u e a energia interna específica u 1 no início do aquecimento t = 0   s .

Δ u = u - u 1

Substituindo isso na fórmula encontramos que:

u - u 1 = Q ˙ m ⋅ t 2 - t 1 T 2 - T 1 ⋅ T - Q ˙ m ⋅ t 2 - t 1 T 2 - T 1 ⋅ T 1

u = Q ˙ m ⋅ t 2 - t 1 T 2 - T 1 ⋅ T - Q ˙ m ⋅ t 2 - t 1 T 2 - T 1 ⋅ T 1 + u 1

Não conhecemos u 1 , mas ele é uma constante. Isso quer dizer que esse termo vai desaparecer, quando derivarmos u .

Pronto, temos a fórmula de u . Então vamos derivá-la no próximo passo para podermos calcular c v .

Passo 5

Derivando u em relação à temperatura T , achamos:

Q ˙ m ⋅ t 2 - t 1 T 2 - T 1

Ou seja:

c v = Q ˙ m ⋅ t 2 - t 1 T 2 - T 1

Com isso a gente pode substituir todos os valores que conhecemos e achar c v .

Passo 6

c v = Q ˙ m ⋅ t 2 - t 1 T 2 - T 1       ⟹       c v = 10 0,05 ⋅ 240 - 0 50 - 20       ⟹       c v = 1600   J k g ⋅ K

Resposta

c v = 1600   J k g ⋅ K

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