Exercícios Resolvidos de Calores Específicos

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Enunciado

Considere que uma fábrica possui três tanques rígidos. Cada um dos três tanques rígidos contém uma única substância. O tanque A contém 3   k g da substância A , o tanque B contém 5   k g da substância B e o tanque C contém 7   k g da substância C . Os três tanques sofrem processos adiabáticos de trabalho de eixo. O gráfico mostra a quantidade de energia fornecida por trabalho para as três substâncias em função da temperatura. Suponha que a curva de A seja uma função da temperatura com a forma f T = 25 - T 3 . Determine para qual faixa de temperatura o calor específico a volume constante da substância A é maior que o calor específico a volume constante das substâncias B e C .

Passo 1

O enunciado fala sobre três tanques rígidos, cada um com uma substância. Eles recebem trabalho e a quantidade de trabalho W que as substâncias recebem está mostrada no gráfico. A partir dessas informações a questão pede pra gente calcular o calor específico a volume constante c v das três substâncias para saber em que faixa de temperatura o c v de A é maior que os c v ’s de B e C . Os dados e as incógnitas do problema estão na figura abaixo. O significado de todos os dados presentes na figura serão explicados.

Para conseguir calcular o calor específico a volume constante c v das três substâncias, precisamos lembrar da única fórmula que temos pra isso. Ela é a derivada parcial da energia interna específica u em relação à temperatura T , mantendo o volume específico v da substância constante. Ou seja, c v é a taxa de variação de u em relação à temperatura T .

c v = ∂ u ∂ T v

c v A , c v B e c v C são os calores específicos das substância A , B e C respectivamente. Para calcular os c v ’s, temos que conseguir informações sobre a variação da energia interna específica u a volume constante a partir das informações dadas de trabalho recebido W . Para fazer isso, utilizamos a primeira lei nessas três substâncias ( A , B e C ).

Q A - W A = m A ⋅ u A - u A 1

Q B - W B = m B ⋅ u B 2 - u B 1

Q C - W C = m C ⋅ u C 2 - u C 1

O significado de cada variável da primeira lei será explicado no próximo passo.

Passo 2

m A , m B e m C são as massas das substância A , B e C respectivamente. O enunciado informa todos os valores de massa. Todos eles estão presentes na figura acima!

u A - u A 1 , u B 2 - u B 1 e u C 2 - u C 1 são as variações de energia interna específica das substância A , B e C respectivamente. Elas são importantes de serem calculadas, porque vão ajudar no cálculo dos c v ’s.

Q A , Q B e Q C são os calores trocados pelos tanques A , B e C com o ambiente. Todos os três valem zero, porque o enunciado informa que o recebimento de trabalho é adiabático.

Com esses dados, podemos calcular as variações de energia interna específica u 2 - u 1 , reorganizando a primeira lei.

u A - u A 1 = - W A m A

u B 2 - u B 1 = - W B m B

u C 2 - u C 1 = - W C m C

Vemos que as variações de energia interna específica dependem da quantidade de trabalho absorvido W . Perceber isso é muito importante, porque a quantidade de trabalho absorvido varia linearmente para B e C . Se a variação de u depende de uma quantidade linear W , u também varia linearmente para B e C . Por isso, o calor específico c v de B e C pode ser calculado da seguinte forma.

c v B = ∂ u B ∂ T B v B       ⟹       c v B = u B 2 - u B 1 T B 2 - T B 1

c v C = ∂ u C ∂ T C v C       ⟹       c v C = u C 2 - u C 1 T C 2 - T C 1

Para a substância A o processo é diferente. Para calcular c v A , temos que substituir a fórmula de W A dada pelo enunciado na fórmula de u A - u A 1 . Essa fórmula também está presente na figura. Depois, substituímos o u encontrado na derivada parcial de u em relação a T .

Vemos pelo gráfico que as temperaturas das substâncias no ponto 1 ( T A 1 , T B 1 e T C 1 ) são iguais a 25   ° C . As temperaturas dos pontos 2 ( T B 2 e T C 2 ) estão presentes na figura!

Com todos esses dados, podemos enfim calcular os calores específicos!

Passo 3

Antes de calcular os calores específicos, temos que calcular a variação de energia interna específica de cada substância.

u A - u A 1 = - W A m A       ⟹       u A - u A 1 = - 25 - T 3 3

u B 2 - u B 1 = - W B m B       ⟹       u B 2 - u B 1 = - - 40 5       ⟹       u B 2 - u B 1 = 8   k J k g

u C 2 - u C 1 = - W C m C       ⟹       u C 2 - u C 1 = - - 200 7       ⟹       u C 2 - u C 1 = 28,6   k J k g

Com esses valores, podemos encontrar os c v ’s de B e C .

c v B = u B 2 - u B 1 T B 2 - T B 1       ⟹       c v B = 8 75 - 25       ⟹       c v B = 0,16   k J k g ℃

c v C = u C 2 - u C 1 T C 2 - T C 1       ⟹       c v C = 28,6 50 - 25       ⟹       c v C = 1,14   k J k g ℃

Como o cálculo de c v A é diferente, deixaremos ele pra próxima etapa.

Passo 4

Para calcular c v A , temos que achar uma equação para u A em função de T .

u A - u A 1 = - 25 - T 3 3       ⟹       u A = u A 1 - 25 - T 3 3

onde u A 1 é a energia interna específica de A no ponto 1 . u A 1 é um valor constante.

Substituindo essa equação na derivada parcial, achamos:

c v A = ∂ u A ∂ T A v A       ⟹       c v A = 25 - T 2       ⟹       c v A = 625 - 50 ⋅ T + T 2

Isso significa que c v A varia com a temperatura. A curva desse desse calor específico em função da temperatura é uma parábola com concavidade pra cima. Podemos comparar melhor c v A com c v B e c v C traçando um gráfico desses calores específicos em função da temperatura.

Pelo gráfico nós vemos que o calor específico de A fica maior que o calor específico de B e C para temperaturas maiores que 26,4   ° C !

S e   T > 26,4   ° C   ⟶ c v A > c v C > c v B

Resposta

T > 26,4   ° C

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