Exercícios Resolvidos de Calores Específicos

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Enunciado

Considere que uma fábrica possui dois conjuntos cilindro-pistão. Cada um deles contém uma única substância. O conjunto cilindro-pistão A contém 4   k g da substância A e o conjunto cilindro-pistão B contém 6   k g da substância B . Os conjuntos cilindro-pistão realizam um processo adiabático de enpansão. O gráfico mostra a quantidade de energia perdida por trabalho pelas duas substâncias em função da temperatura. Suponha que o processo de expansão das substâncias A e B é isobárico a 200   k P a de pressão. Determine o calor específico a pressão constante das duas substâncias.

Passo 1

O enunciado fala sobre dois cilindros-pistões A e B , cada um com uma substância. Eles realizam trabalho. A quantidade de trabalho W que as substâncias realizam está mostrada no gráfico. A partir dessas informações, a questão pede pra gente calcular o calor específico a pressão constante c P das duas substâncias. Os dados e as incógnitas do problema estão ilustrados pela figura abaixo. Será explicado o significado de cada dado mostrado na figura!

Para conseguir calcular o calor específico a pressão constante c P das duas substâncias, precisamos lembrar da única fórmula que temos pra isso. Ela é a derivada parcial da energia interna específica h em relação à temperatura T , mantendo o pressão P da substância constante. Ou seja, c P é taxa de variação da entalpia específica h em relação à temperatura.

c P = ∂ h ∂ T P

Isso quer dizer que para calcular c P precisamos de informações sobre a variação de h , mantendo a pressão constante. Para conseguir esses dados, temos que usar a primeira lei. Com ela encontraremos informações sobre a variação da energia interna específica u a pressão constante. Isso é obtido, aplicando a primeira lei nessas duas substâncias ( A e B ).

Q A - W A = m A ⋅ u A 2 - u A 1

Q B - W B = m B ⋅ u B 2 - u B 1

O significado de cada variável da primeira lei será explicado no próximo passo.

Passo 2

m A e m B são as massas das substância A e B respectivamente. O enunciado informa todos os valores de massa. Todos eles estão presentes na figura acima!

u A 2 - u A 1 e u B 2 - u B 1 são as variações de energia interna específica das substância A e B respectivamente. Elas são importantes de serem calculadas, porque vão ajudar no cálculo dos c P ’s. Elas são as variações que as substâncias sofrem ao ir do ponto 1 ao ponto 2 .

Q A e Q B são os calores trocados pelos tanques A e B com o ambiente. Todos os dois valem zero, porque o enunciado informa que o processo de expansão é adiabático.

Com esses dados, podemos calcular as variações de energia interna específica u 2 - u 1 , reorganizando a primeira lei.

u A 2 - u A 1 = - W A m A

u B 2 - u B 1 = - W B m B

Mas a entalpia específica h pode ser calulada a partir da energia interna u .

h = u + P ⋅ V

onde P é a pressão da substância e V é o volume que a substância ocupa.

Podemos usar essa fórmula para calcular a variação de entalpia específica das duas substâncias!

h A 2 - h A 1 = u A 2 + P A 2 ⋅ V A 2 - u A 1 + P A 1 ⋅ V A 1

h A 2 - h A 1 = u A 2 - u A 1 ⏟ - W A m A + P A 2 ⋅ V A 2 - P A 1 ⋅ V A 1

h A 2 - h A 1 = - W A m A + P A 2 ⋅ V A 2 - P A 1 ⋅ V A 1

h B 2 - h B 1 = u B 2 + P B 2 ⋅ V B 2 - u B 1 + P B 1 ⋅ V B 1

h B 2 - h B 1 = u B 2 - u B 1 ⏟ - W B m B + P B 2 ⋅ V B 2 - P B 1 ⋅ V B 1

h B 2 - h B 1 = - W B m B + P B 2 ⋅ V B 2 - P B 1 ⋅ V B 1

As pressões P B 1 e P A 1 são as pressões das substâncias no ponto 1 e as pressões P B 2 e P A 2 são as pressões das substâncias no ponto 2 . As pressões do ponto 1 são iguais às pressões do ponto 2 , porque o processo de compressão é isobárico. Elas são mostradas na figura.

Os volumes V B 1 e V A 1 são as pressões das substâncias no ponto 1 e os volumes V B 2 e V A 2 são as pressões das substâncias no ponto 2 . V B 2 e V A 2 serão calculados no próximo passo.

Passo 3

Os trabalhos de expansão W A e W B são trabalhos de movimento de fronteira à pressão constante. Como conhecemos a fórmula de trabalho de movimento de fronteira isobárico, podemos calcular V B 2 e V A 2 a partir dela.

W B = P B 1 ⋅ V B 2 - V B 1       ⟹     V B 2 = W B P B 1 + V B 1

W A = P A 1 ⋅ V A 2 - V A 1       ⟹     V A 2 = W A P A 1 + V A 1

Substituindo V B 2 e V A 2 nas equações de variação de entalpia específica, encontramos:

h A 2 - h A 1 = - W A m A + P A 1 ⋅ V A 2 - V A 1

h A 2 - h A 1 = - W A m A + P A 1 ⋅ W A P A 1 + V A 1 - V A 1  

h A 2 - h A 1 = - W A m A + W A       ⟹       h A 2 - h A 1 = W A ⋅ 1 - 1 m A

h B 2 - h B 1 = - W B m B + P B 1 ⋅ V B 2 - V B 1

h B 2 - h B 1 = - W B m B + P B 1 ⋅ W B P B 1 + V B 1 - V B 1  

h B 2 - h B 1 = - W B m B + W B       ⟹       h B 2 - h B 1 = W B ⋅ 1 - 1 m B

Vemos que as variações de entalpia específica dependem da quantidade de trabalho realizado W . Perceber isso é muito importante, porque a quantidade de trabalho W varia linearmente. Como a variação de h depende de W , h também varia linearmente. Por isso, o calor específico c P pode ser calculado da seguinte forma.

c P A = ∂ h A ∂ T A P       ⟹       c P A = h A 2 - h A 1 T A 2 - T A 1

c P B = ∂ h B ∂ T B P       ⟹       c P B = h B 2 - h B 1 T B 2 - T B 1

Vemos pelo gráfico que as temperaturas das substâncias no ponto 1 são iguais a 30   ° C .

T A 1 = T B 1 = 30   ° C

Já as temperaturas dos pontos 2 estão mostradas na figura!

Com todos esses dados, podemos enfim calcular os calores específicos!

Passo 4

c P A = h A 2 - h A 1 T A 2 - T A 1     ⟹     c P A = W A ⋅ 1 - 1 m A T A 2 - T A 1     ⟹     c P A = 250 ⋅ 1 - 1 4 60 - 30     ⟹     c P A = 6,25   k J k g

c P B = h B 2 - h B 1 T B 2 - T B 1     ⟹     c P B = W B ⋅ 1 - 1 m B T B 2 - T B 1     ⟹     c P B = 1 50 ⋅ 1 - 1 6 9 0 - 30     ⟹     c P B = 2,08   k J k g

Enfim, encontramos o que a gente queria!

Resposta

c P A = 6,25   k J k g

c P B = 2,08   k J k g

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