Curva Tensão versus Número de ciclos (S-N)

Teoria Completa

Fala aiiiiiiiiiiiiii pessoal!!!! Tudo tranquilo?

Vimos no tópico anterior que componentes submetidos a carregamentos cíclicos irão falhar em algum momento devido à fadiga. Mas que momento é esse?

Bom, para respondermos a essa pergunta precisamos entender o quê significa a curva tensão versus número de ciclos (Curva S-N), ou também conhecida como curva tensão versus vida.

A fim de determinarmos qual é o número de ciclos que o material suporta até a falha por fadiga realizamos ensaios laboratoriais ou ensaios de fadiga. Neste ensaio colocamos um corpo de prova submetido a um carregamento cíclico com amplitude de tensão (tensão alternada - σ a ) ou tensão nominal ( S a ) conhecida até que o corpo de prova falhe por fadiga. No momento da falha verificamos qual é foi o número de ciclos que o material suportou. Esses ensaios, normalmente, são executados empregando tensão média nula ou uma tensão média especifica não nula ( σ m ) .

A figura acima nos mostra um carregamento cíclico completamente reverso, onde σ m = 0 e σ a = σ m á x . Imagine que esse gráfico representa o carregamento em nosso corpo de prova, além da tensão média e a amplitude de tensão, o gráfico nos mostra o primeiro ciclo de carregamento ( N 1 ) do material. Tanto a tensão média quanto a amplitude de tensão são escolhidas no inicio do ensaio. Já o número de ciclos até a falha ( N f ) iremos descobrir quando o corpo de prova falhar por fadiga. Esse número é dado pelo equipamento que realizamos o ensaio. O ensaio é repetido variando a amplitude de tensão (tensão alternada σ a ) e verificando o número de ciclos até a falha que o material suportou. Como os valores das amplitudes de tensões e o número de ciclos até a falha traça-se um gráfico onde o eixo x colocamos o número de ciclos até a falha e no eixo y a amplitude de tensão, conforme figura abaixo.

Note que apesar do número de ciclo até a falha está no eixo x , ele é a variável dependente do ensaio e a amplitude de tensão ( σ a ) ou tensão nominal ( S a ) a variável independente, uma vez que escolhemos cada tensão do ensaio.

O número de ciclos até a falha muda rapidamente com o nível de tensão e pode variar ao longo de várias ordens de grandeza. Por esse motivo, os números de ciclos são normalmente representados graficamente numa escala logarítmica. A figura abaixo mostra uma curva S-N com escala logarítmica no eixo dos números de ciclos.

A equação que mais se aproxima do comportamento da curva S-N sem utilizar a escala logarítmica é uma equação potencial, conforme a equação abaixo.

σ a = A ∙ N f B

Em que, σ a é a amplitude de tensão ou a tensão nominal S a , A e B constantes e N f é o número de ciclos até a falha.

Em alguns materiais, notavelmente o aço-carbono comum e de baixa liga, parece haver um nível de tensão distinto abaixo do qual a falha por fadiga, praticamente, não ocorre em condições normais. Esse limite inferior de tensão é chamado limite de fadiga, isto é, abaixo desse limite de fadiga não há falha por fadiga em condições normais, ou pelo menos até onde foi medido o número de ciclos. Na verdade todo material irá sofrer falha por fadiga, mesmo que a tensão seja muito pequena, porém nesse limite de fadiga a variação é muitíssimo pequena e praticamente imperceptível.

O termo resistência à fadiga é usado para especificar um valor de amplitude de tensão a partir de uma curva S-N para uma vida de particular interesse. Assim, a resistência à fadiga em 10 5   c i c l o s é simplesmente a amplitude de tensão correspondente à N f = 10 5 . Outros termos usados com curvas S-N incluem fadiga de alto ciclo e fadiga de baixo ciclo. O primeiro identifica situações de longas vidas em fadiga em que a tensão é suficientemente baixa para que os efeitos da deformação plástica não ocorram. O número de ciclos em que a fadiga de alto ciclo inicia-se varia com o material, mas é tipicamente na faixa 10 2 a   10 4 c i c l o s . Já para a fadiga de baixo ciclo temos deformação plástica e elástica causadas pelas cargas relativamente altas. Um bom exemplo de fadiga de baixo ciclo é a fratura de um clipe para papel, quando ao dobramo-lo demasiadamente algumas vezes, o quebramos. Note na figura acima a representação dessa classificação.

Tente ai quebrar um clipe por fadiga de baixo ciclo!!!!

E ai, vamos praticar?

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Exercício Resolvido #1

Callister W.D. Ciência e Engenharia de Materiais. Sétima edição

Um ensaio de fadiga foi conduzido de tal modo que a tensão média foi de 70 M P a e a amplitude de tensão foi de 210 M P a .

(a) Calcule os níveis de tensão máximo e mínimo.

(b) Calcule a razão entre as tensões.

(c) Calcule a magnitude do intervalo de tensões(faixa de tensões).

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Passo 1

Vamos primeiramente anotar os valores dados e quais são os valores pedidos:

Valores dados:

σ m = 70 M P a

σ a = 210 M P a

Valores pedidos:

σ m á x   e   σ m í n =   ?

R =   ?

∆ σ =   ?

Passo 2

Vamos calcular agora os níveis de tensões máximo e mínimo. Sabemos que:

σ m = σ m á x + σ m í n 2   e   σ a = σ m á x - σ m í n 2

Isolando σ m á x e substituindo:

σ m ∙ 2 - σ m í n = σ a ∙ 2 + σ m í n

σ m ∙ 2 - σ a ∙ 2 = σ m í n ∙ 2

σ m í n = σ m - σ a = 70 M P a - 210 M P a = - 140 M P a

Substituindo o valor de σ m í n na equação abaixo:

σ m = σ m á x + σ m í n 2

70 M P a = σ m á x - 140 M P a 2 ∴ σ m á x = 280 M P a

Passo 3

Agora vamos calcular a razão de tensões:

R = σ m í n σ m á x = - 140 M P a 280 M P a = - 0,50

Passo 4

Por fim, calculamos a magnitude do intervalo de tensões ou a faixa de tensões:

∆ σ = σ m á x - σ m í n = 280 M P a - - 140 M P a = 280 M P a + 140 M P a = 420 M P a

Resposta

Exercício Resolvido #2

Callister W.D. Ciência e Engenharia de Materiais. Sétima edição

Uma barra cilíndrica, de aço 1045, que tem comportamento S-N conforme está apresentado na Figura abaixo, é submetida a ensaios giratórios com dobramento segundo ciclos alternados de tensões. Se o diâmetro da barra é de 15,0 mm, determine a carga cíclica máxima que pode ser aplicada para assegurar que não irá ocorrer uma falha por fadiga. Considere um fator de segurança de 2,0 e que a distância entre os pontos de aplicação de carga seja de 60,0 mm (0,0600 m).

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Passo 1

Observando a curva S-N acima nota-se que o limite de resistência à fadiga, portanto a tensão máxima que nossa barra poderá sofrer, é de, aproximadamente, 310 M P a .

Para calcularmos a tensão máxima e um componente sob flexão utilizamos a formula da flexão para barra redonda:

σ m á x = 16 ∙ F ∙ L π ∙ d 3

Em que F é a força aplicada no ensaio, L é o comprimento do corpo de prova e d é o diâmetro do corpo de prova.

Além da tensão máxima, obtida através do gráfico, o problema nos dá:

d = 15 m m = 15 ∙ 10 - 3 m

N = 2 → F a t o r   d e   s e g u r a n ç a

L = 60 m m = 60 ∙ 10 - 3 m

Como o problema nos fornece o fato de segurança devemos dividir nossa tensão máxima por esse fator, assim:

σ m á x N = 16 ∙ F ∙ L π ∙ d 3

Isolando a força na equação acima teremos (Obs.: Se deixarmos a tensão em [ M P a ]   e as medidas em [ m m ] obteremos a força em [ N ] :

F = σ m á x ∙ π ∙ d 3 16 ∙ L ∙ N = 310 M P a ∙ π ∙ 15 3 m m 3 16 ∙ 60 m m ∙ 2 = 1712 N

Resposta

F = 1712 N

Exercício Resolvido #3

Callister W.D. Ciência e Engenharia de Materiais. Sétima edição

Uma barra cilíndrica em ferro fundido dúctil é submetida a ensaios giratórios com dobramento e alternados; os resultados dos ensaios (isto é, o comportamento S-N) estão mostrados na Figura abaixo. Se o diâmetro da barra é de 9,5 mm, determine a carga cíclica máxima que pode ser aplicada para assegurar que não irá ocorrer uma falha por fadiga. Assuma um fator de segurança de 2,25 e que a distância entre os pontos de suporte da carga seja de 55,5 mm.

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Passo 1

Observando a curva S-N acima nota-se que o limite de resistência à fadiga, portanto a tensão máxima que nossa barra poderá sofrer, é de, aproximadamente, σ a = 220 M P a , suponha que seja um carregamento com ciclo mínimo nulo:

σ m í n = 0

Para calcularmos a tensão máxima em um componente sob flexão utilizamos a formula da flexão para barra redonda:

σ a = σ m á x = 16 ∙ F m á x ∙ L π ∙ d 3

Em que F é a força aplicada no ensaio, L é o comprimento do corpo de prova e d é o diâmetro do corpo de prova.

Além da tensão máxima, obtida através do gráfico, o problema nos dá:

d = 9,5 m m = 9,5 ∙ 10 - 3 m

N = 2,25 → F a t o r   d e   s e g u r a n ç a

L = 55 m m = 55 ∙ 10 - 3 m

Como o problema nos fornece o fato de segurança devemos dividir nossa tensão máxima por esse fator, assim:

σ m á x N = 16 ∙ F m á x ∙ L π ∙ d 3

Isolando a força na equação acima teremos (Obs.: Se deixarmos a tensão em [ M P a ]   e as medidas em [ m m ] obteremos a força em [ N ] :

F m á x = σ m á x ∙ π ∙ d 3 16 ∙ L ∙ N = 220 M P a ∙ π ∙ 9,5 3 m m 3 16 ∙ 55 m m ∙ 2,25 = 299 N

Resposta

F m á x = 299 N

Exercício Resolvido #4

Callister W.D. Ciência e Engenharia de Materiais. Sétima edição

Uma barra cilíndrica em aço 4340 é submetida a ciclos de tensão giratórios com dobramento alternados, cujos resultados do ensaio estão apresentados na Figura abaixo. Se a carga máxima aplicada é de 5.000 N, calcule o diâmetro mínimo permissível para a barra para assegurar que não irá ocorrer uma falha por fadiga. Considere um fator de segurança de 2,25 e que a distância entre os pontos de suporte da carga seja de 55,5 mm.

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Passo 1

Observando a curva S-N acima nota-se que o limite de resistência à fadiga, portanto a tensão máxima que nossa barra poderá sofrer, é de, aproximadamente, σ a = 480 M P a , suponha que seja um carregamento com ciclo mínimo nulo:

σ m í n = 0

Para calcularmos a tensão máxima e um componente sob flexão utilizamos a formula da flexão para barra redonda:

σ a = σ m á x = 16 ∙ F m á x ∙ L π ∙ d 3

Em que F é a força aplicada no ensaio, L é o comprimento do corpo de prova e d é o diâmetro do corpo de prova.

Além da tensão máxima, obtida através do gráfico, o problema nos dá:

F m á x = 5000 N

N = 2,25 → F a t o r   d e   s e g u r a n ç a

L = 55,5 m m = 55,5 ∙ 10 - 3 m

Como o problema nos fornece o fato de segurança devemos dividir nossa tensão máxima por esse fator, assim:

σ m á x N = 16 ∙ F m á x ∙ L π ∙ d 3

Isolando o diâmetro na equação acima teremos (Obs.: Se deixarmos a tensão em [ M P a ]   e as medidas em [ m m ] obteremos a força em [ N ] :

d = F ∙ 16 ∙ L ∙ N σ m á x ∙ π 3 = 5000 N ∙ 16 ∙ 55,5 m m ∙ 2,25 480 M P a ∙ π 3 = 18,78 m m

Para asseguramos que a barra não falhará por fadiga devemos arrendodar o valor do diâmetro para cima, pois se arrendodarmos para baixo a tensão máxima irá exceder o limite de resistência à fadiga. Assim:

d = 18,8 m m

Resposta

d = 18,8 m m

Exercício Resolvido #5

Callister W.D. Ciência e Engenharia de Materiais. Sétima edição

Uma barra cilíndrica em liga de alumínio 2014-T6 é submetida a um ciclo de tensões de tração e de compressão ao longo do seu eixo; os resultados desses testes estão mostrados na Figura abaixo. Se o diâmetro da barra é de 12,0 mm, calcule a amplitude de carga máxima permissível (em N) para assegurar que não ocorrerá uma falha por fadiga em 10 7 ciclos. Assuma um fator de segurança de 3,0, que os dados na Figura abaixo foram tomados a partir de ensaios alternados axiais de tração e de compressão, e que T seja a amplitude da tensão.

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Passo 1

Observando a curva S-N acima para o ciclos até 10 7 nota-se que a tensão máxima que nossa barra poderá sofrer, é de, aproximadamente, σ a = 175 M P a , suponha que seja um carregamento com ciclo mínimo nulo:

σ m í n = 0

Para calcularmos a tensão máxima e um componente sob tensões axiais utilizamos a formula abaixo:

σ m á x = F A

Em que F é a força aplicada no ensaio e A é a área do corpo de prova.

Além da tensão máxima, obtida através do gráfico, o problema nos dá:

d = 12 m m

N = 3,0 → F a t o r   d e   s e g u r a n ç a

Como o problema nos fornece o fato de segurança devemos dividir nossa tensão máxima por esse fator, assim:

σ m á x N = F m á x A

Isolando a força na equação acima teremos (Obs.: Se deixarmos a tensão em [ M P a ]   e as medidas em [ m m ] obteremos a força em [ N ] :

F m á x = σ m á x ∙ A N = σ m á x N ∙ π d 2 4 = 175 M P a 3,0 ∙ π 12 2 m m 2 4 = 6597 N

Logo, a carga máxima permissível (em N) para assegurar que não ocorrerá uma falha por fadiga em 10 7 ciclos é de:

F m á x = 6597 N

Resposta

F m á x = 6597 N

Exercício Resolvido #6

Callister W.D. Ciência e Engenharia de Materiais. Sétima edição

Uma barra cilíndrica com 6,7 mm de diâmetro, fabricada a partir de uma liga de latão 70Cu-30Zn, é submetida a um ciclo de aplicação de cargas giratórias com dobramento; os resultados dos ensaios (na forma do comportamento S-N) estão mostrados na Figura abaixo. Se as cargas máxima e mínima são de +120 N e –120 N, respectivamente, determine a sua vida em fadiga. Considere que a distância de separação entre os pontos de suporte da carga seja de 67,5 mm.

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Passo 1

O problema nos fornece os seguintes dados:

d = 6,7 m m

L = 67,5 m m

F m á x = 120 N

F m í n = - 120 N

Através da formula de flexão vamos calcular as tensões máxima e mínima(Obs.: Se deixarmos a força em [ N ]   e as medidas em [ m m ] obteremos a tensão em [ M P a ] :

σ m á x = 16 ∙ F m á x ∙ L π ∙ d 3 = 16 ∙ 120 N ∙ 67,5 m m π ∙ 6,7 3 m m 3 = 137 M P a

σ m í m = 16 ∙ F m í n ∙ L π ∙ d 3 = 16 ∙ ( - 120 N ) ∙ 67,5 m m π ∙ 6,7 3 m m 3 = - 137 M P a

Passo 2

Vamos agora calcular a tensão alternada. Precisamos dessa tensão pois a curva S-N foi obtida através de ciclos de tensões alternadas. Outra coisa que temos que está atento e que o eixo x , ciclos até a falha, N , está em escala logarítmica.

σ a = σ m á x - σ m í n 2 = 137 M P a - - 137 M P a 2 = 137 M P a

Repare que quando tivermos forças ou tensões máximas e mínimas igual em modulo a tensão alternada é:

σ a = σ m á x - σ m í n 2 = 2 ∙ σ m á x 2 = σ m á x ,   u m a   v e z   q u e   σ m á x = | σ m í n |    

Como dito a tensão máxima está em função do logaritmo do número de ciclos até a falha por fadiga ( N ), assim, traçado um reta na tensão até chegar na curva S-N do material, teremos o seguinte número de ciclos até a falha por fadiga:

N ≅ 4 ∙ 10 6 c i c l o s   a t é   a   f a l h a

Resposta

N ≅ 4 ∙ 10 6 c i c l o s   a t é   a   f a l h a

Exercício Resolvido #7

Callister W.D. Ciência e Engenharia de Materiais. Sétima edição

Uma barra cilíndrica com 14,7 mm de diâmetro, fabricada a partir de uma liga de titânio Ti-5Al-2,5Sn (Figura abaixo), é submetida a um ciclo de aplicação de cargas repetidas de tração e de compressão ao longo do seu eixo. Calcule as cargas máxima e mínima que deverão ser aplicadas para produzir uma vida em fadiga de 1 ∙ 10 6 ciclos. Assuma que os dados na Figura abaixo tenham sido tomados a partir de ensaios com cargas axiais repetidas de tração e de compressão, que a tensão indicada no eixo vertical seja a amplitude de tensão, e que os dados tenham sido obtidos para uma tensão média de 50 MPa.

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Passo 1

Observando a curva S-N acima para o ciclos até 10 6 nota-se que a tensão máxima que nossa barra poderá sofrer, é de, aproximadamente, σ a ≅ 510 M P a .

Para calcularmos a tensão e um componente sob tensões axiais utilizamos a formula abaixo:

σ = F A

Em que F é a força aplicada no ensaio e A é a área do corpo de prova.

Além da tensão máxima, obtida através do gráfico, o problema nos dá:

d = 1 4,7 m m

σ m = 50 M P a

Passo 2

Agora vamos obter os valores das cargas máximas e mínimas para isso vamos calcular as tensões máxima e mínima:

σ m í n = σ m - σ a = 50 M P a - 510 M P a = - 460 M P a

σ m á x = σ m + σ a = 50 M P a + 510 M P a = 560 M P a

Passo 3

Sabemos que:

σ m í n = F m í n A ∴ F m í n = σ m í n ∙ A = σ m í n ∙ π ∙ d 2 4 = - 460 M P a ∙ π ∙ 14,7 2 m m 2 4 = - 78069 N

σ m á x = F m á x A ∴ F m á x = σ m á x ∙ A = σ m á x ∙ π ∙ d 2 4 = 5 60 M P a ∙ π ∙ 14,7 2 m m 2 4 = 95041 N

Assim, as cargas são:

F m í n = - 78069 N

F m á x = 95041 N

Resposta

F m í n = - 78069 N

F m á x = 95041 N

Exercício Resolvido #8

Callister W.D. Ciência e Engenharia de Materiais. Sétima edição

Os dados de fadiga para um aço estão fornecidos a seguir.

  1. Trace um gráfico S-N (amplitude da tensão em função do logaritmo do número de ciclos até a falha) usando esses dados.
  2. Qual é o limite de resistência à fadiga dessa liga?
  3. Determine as vidas em fadiga para as amplitudes de tensão de 415 MPa e 275 MPa.
  4. Estime as resistências à fadiga a 2 ∙ 10 4 e 6 ∙ 10 5 ciclos.
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Passo 1

Primeiramente vamos pegar os pontos dados e traçar uma curva S-N. Lembre-se que no eixo x estamos na escala logarítmica!