Enunciado

As duas extremidades de uma barra cilíndrica de aço 1025 de 75 mm de comprimento e 100 mm de diâmetro são mantidas rígidas. Se a barra está inicialmente a 25 ° C, até que temperatura ela deve ser resfriada para apresentar uma redução de 0,008 mm de diâmetro?

Passo 1

Gurizada tudo beleza com vocês? Espero que sim !!

Esse problema nos pede para qual a temperatura a barra deve ser resfriada obter uma redução de 0,008 mm de diâmetro. Galerinha para que haja essa redução ela pode acontecer de 2 maneiras: 1) se contraída (contração térmica) = ∆d1 e 2) contração lateral de Poisson (deformação elástica) ∆d2.

A magnitude de ∆d1 pode ser calculada utilizando a seguinte equação:

  ∆ d 1   =   d 0 α l × ( T f   -   T 0 )   (1)

ε x   = ∆ d 2   / d 0   (2)

Passo 2

∆d2 está relacionado à deformação (εx) como te disse anteriormente e estão relacionadas, sendo inversamente proporcionais, como representado aqui em baixo.

ε x   = - ν ε z (3)

Onde: v é a razão de Poisson.

Podemos substituir agora (3) em (2), partiu?

- ν ε z   = ∆ d 2   / d 0   4)

E a tensão que já é nossa velha conhecida, é determinada por:

ε   = σ   / E   (5)

Substituindo 5 em 4 temos:

- ν × σ   / E   = ∆ d 2   / d 0   (6)

Levando em consideração a variação de temperatura da barra temos, a seguinte equação:

  σ   =   E α l × ( T 0   - T f   ) (7)

Agora podemos substituir (7) em (6) vem comigo :D

- ν × E α l × T 0   - T f   E   = ∆ d 2   / d 0

Podemos simplificar os módulos de elasticidades, então teremos:

- ν × α l × T 0   - T f   = ∆ d 2   / d 0

Deixando ∆ d 2 em evidencia:

- ν × α l × T 0   - T f   × d 0 = ∆ d 2   (8)

Se estamos falando em The total ∆d estamos falando em variação, então temos:

∆d = ∆d1 + ∆d2 (9)

Substituindo (9) em (8) temos:

∆ d   =   d 0 α l T f   -   T 0 +   d 0 ν α l T f   -   T 0

∆ d   =   d 0 α l ( T f   -   T 0 ) ( 1   +   ν )  

Passo 3

Agora sim podemos substituir os valores amores, vem comigo que falta pouco!!! Vamos achar a Tf :D

- 0,008   m m   =   10   m m × 12 × 10 - 6 ° C - 1 × T f   - 25 ° C × ( 1 + 30 )

T f   =   –   26.3 ° C

Resposta

T f   =   –   26.3 ° C

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