Enunciado

  1. O hidrogênio gasoso, sob pressão constante de 1,013   M P a 10   a t m , deve escoar pelo lado interno de um tubo cilíndrico de níquel com paredes finas, o qual possui um raio de 0,1   m . A temperatura no tubo deve ser de 300 ° C , e a pressão do hidrogênio no lado de fora do tubo será mantida em 0,01013   M P a 0,1   a t m . Calcule a espessura mínima da parede do tubo se o fluxo difusivo não puder ser superior a 1 × 10 - 7   m o l / m 2 ⋅ s . A concentração de hidrogênio no níquel, C H (em mols de hidrogênio por m 3 de N i ), é uma função da pressão do hidrogênio, P H 2 (em M P a ), e da temperatura absoluta ( T ) , segundo a relação
  2. C H = 30,8 p H 2 exp ⁡ - 12,3   k J / m o l R T 6.28

    Além disso, o coeficiente de difusão para a difusão do H no N i depende da temperatura, de acordo com

    D H ( m 2 / s ) = 4,76 × 10 - 7 exp ⁡ - 39,56   k J / m o l R T 6.29

  3. Para tubos cilíndricos de paredes finas, que estão pressurizados, a tensão circunferencial é uma função da diferença de pressão através da parede ( ∆ p ), do raio do cilindro ( r ) e da espessura do tubo ( ∆ x ), conforme
  4. σ = r ∆ p 4 ∆ x

    Calcule a tensão circunferencial à qual as paredes desse cilindro pressurizado estão expostas.

  5. O limite de escoamento do N i à temperatura ambiente é 100   M P a   ( 15.000   p s i ) e, além disso, σ l diminui cerca de 5   M P a para cada 50 ° C de elevação na temperatura. Você espera que a espessura de parede calculada no item (b) seja adequada para esse cilindro de N i a 300 ° C ? Por que sim, ou por que não?
  6. Se essa espessura for considerada adequada, calcule a espessura mínima que poderia ser usada sem qualquer deformação das paredes do tubo. Em quanto o fluxo difusivo iria aumentar com essa redução na espessura da parede? Por outro lado, se a espessura determinada no item (c) não for adequada, especifique uma espessura mínima que deveria ser usada. Nesse caso, qual seria a redução resultante no fluxo difusivo?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

No item (a) o exercício nos diz que um fluido escoa por um tubo cilíndrico e nos pede a espessura mínima desse fluido para que ele resista às condições de projeto.

Uma das condições de projeto que o exercício nos dá é o fluxo difusivo de:

J = 1 × 10 - 7   m o l / m 2 ⋅ s

Existe uma equação em que podemos relacionar o fluxo com a espessura do tubo de escoamento. Ela é definida por:

J = - D ∆ C ∆ x

Onde ∆ C representa a diferença de concentração do fluido, D o coeficiente de difusão do fluido e ∆ x a espessura da parede do tubo.

Podemos remodelar a equação para:

∆ x = - D H ∆ C H J

Podendo assim, ser calculada a espessura da parede do tubo para um determinado fluxo difusivo quando o fluido é hidrogênio.

Passo 2

Vamos utilizar as equações 6.28 e 6.29 para calcular a diferença de concentração do fluido e o coeficiente de difusão. Temos que:

C H = 30,8 p H 2 exp ⁡ - 12,3   k J / m o l R T 6.28

D H ( m 2 / s ) = 4,76 × 10 - 7 exp ⁡ - 39,56   k J / m o l R T 6.29

Do enunciado também temos que a pressão interna é de 0,01013   M P a e a pressão externa de 1,013   M P a .

A temperatura de trabalho é de:

T = 300 ° C + 273 = 573   K

E a constante do gás é dada por:

R = 8,31   J / m o l

Passo 3

Portanto, substituindo os valores temos que:

∆ C H = 30,8 ∆ p H 2 exp ⁡ - 12,3   k J / m o l R T

∆ C H = 30,8 1,013 M P a - 0,01013 M P a exp ⁡ - 12,3   k J / m o l ( 1000 J / k J ) ( 8,31   J / m o l ) ( 573   K )

∆ C H = 2,3   m o l / m 3

E:

D H = 4,76 × 10 - 7 exp ⁡ - 39,56   k J / m o l ( 1000 J / k J ) ( 8,31   J / m o l ) ( 573   K )

D H = 1,17 ⋅ 10 - 10   m 2 / s

Portanto a espessura será:

∆ x = - D H ∆ C H J

∆ x = - ( 1,17 ⋅ 10 - 10   m 2 / s ) ( 2,3   m o l / m 3 ) ( 1 × 10 - 7   m o l / m 2 ⋅ s )

∆ x = 2,7 ⋅ 10 - 3   m

Ou:

∆ x = 2,7   m m

Passo 4

O item (b) nos pede para calcular a tensão circunferencial à qual as paredes desse cilindro pressurizado estão expostas a partir da seguinte equação:

σ = r ∆ p 4 ∆ x

Aqui só precisamos substituir os valores que já sabemos a partir dos passos anteriores:

∆ p = 1,013 M P a - 0,01013 M p a

E:

∆ x = 2,7 ⋅ 10 - 3   m

E o raio fornecido no enunciado do item (a) de:

r = 0,1   m

Portanto:

σ = 0,1   m 1,013 M P a - 0,01013 M P a 4 2,7 ⋅ 10 - 3   m

σ = 9,286   M P a

Passo 5

Bom... Nós calculamos a espessura mínima para a parede do tubo cilíndrico quando o fluido de trabalho é o hidrogênio à 300 ° C .

O item (c) nos pergunta se a espessura calculada é suficiente para suportar o Níquel N i como fluido de trabalho.

Nos é dito que o limite de escoamento do N i à temperatura ambiente é de 100   M P a e que este limite diminui cerca de 5   M P a a cada aumento de 50 ° C .

Podemos fazer uma regra de três simples para saber quanto será o limite de escoamento do fluido à 300 ° C .

Da temperatura ambiente 20 °   C para a temperatura de trabalho de 300 ° C , ocorreu um aumento de:

∆ T = 300 - 20 = 280 ° C

Se ao aumentar 50 ° C diminui-se 5   M P a , então quando aumentamos 280 ° C diminuiremos:

50 ° C → 5   M p a

280 ° C → x   M P a

x = 280 ⋅ 5 50

x = 28   M P a

Ou seja, um aumento de temperatura de 280 ° C provoca um decréscimo de 28   M p a no limite de escoamento.

O limite de escoamento do N i à 300 ° C será de:

σ l 300 ° C = 100 - 28 = 7 2   M P a

Esta tensão de escoamento admissível é muito maior que a tensão circunferencial calculada no item anterior, portanto a espessura projetada é mais do que suficiente para ter um tubo livre de deformação.

Passo 6

Item (d):

Como a espessura foi considerada mais que adequada para o trabalho com o N i , temos que calcular a espessura mínima que poderia ser usada sem qualquer deformação das paredes do tubo, ou seja, para:

σ l 300 ° C = 7 2   M P a

A tensão de trabalho do metal é dada por:

σ t = σ l N

Vamos considerar um fator de segurança de 2,5 . Teremos a seguinte tensão de trabalho:

σ t = 7 2   M P a 2,5

σ t = 28,8   M P a

Passo 7

Como:

σ = r ∆ p 4 ∆ x

Podemos dizer que:

∆ x = r ∆ p 4 σ

Substituindo os valores teremos:

∆ x = 0,1   m 1,013 M P a - 0,01013 M P a 4 28,8   M P a

∆ x = 0,9   m m

Ou seja, uma espessura de 0,9   m m é suficiente para resistir à pressão no interior do tubo sem nenhuma deformação para o N i à 300 ° C como fluido de trabalho.

Como podemos reduzir a espessura da parede, o fluxo difusivo aumentaria:

J = - D ∆ C ∆ x

J = - ( 1,17 ⋅ 10 - 10   m 2 / s ) ( 2,3   m o l / m 3 ) ( 0,9   m m ⋅ 10 - 3   m / m m )

J = 2,8 1 × 10 - 7   m o l / m 2 ⋅ s

Comparando com o valor inicial ( 1 × 10 - 7   m o l / m 2 ⋅ s ) de fluxo difusivo, este novo valor é cerca de 2,81 vezes maior.

Resposta

a )   ∆ x = 2,7   m m

b )   σ = 9,286   M P a

c )   A espessura mínima é adequada pois, a tensão de escoamento admissível é muito maior que a tensão circunferencial calculada anteriormente .

d ) ∆ x = 0,9   m m

O   n o v o   v a l o r   d e   J   s e r i a   c e r c a   d e   2,81   v e z e s   m a i o r   q u e   o   i n i c i a l .

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